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【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第2节 证明不等式的基本方法课时提升练 文 新人教版选修4-5

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课时提升练(六十三) 证明不等式的基本方法一、选择题1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则s与t的大小关系是(  )A.s≥t   B.s>tC.s≤tD.s<t【解析】 ∵s-t=b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴s≥t.【答案】 A2.设a,b∈(0,+∞),且ab-a-b=1,则有(  )A.a+b≥2(+1)B.a+b≤+1C.a+b<+1D.a+b>2(+1)【解析】 ∵ab-a-b=1,∴1+a+b=ab≤2令a+b=t(t>0),则1+t≤(t>0),解得t≥2(+1),则a+b≥2(+1).【答案】 A3.(2014·北京东城模拟)设a,b,c为正数,且a+2b+3c=13,则++的最大值为(  )A.B.C.D.【解析】 由柯西不等式得(a+2b+3c)≥(++)2∴(++)2≤.∴++≤.当且仅当==时等号成立,即a=9,b=,c=时++5\n取得最大值.【答案】 C4.已知a、b、c是正实数,且a+b+c=1,则++的最小值为(  )A.5B.7C.9    D.11【解析】 把a+b+c=1代入++得++=3+++≥3+2+2+2=9.【答案】 C5.设0<x<1,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是(  )A.aB.bC.cD.无法判断【解析】 ∵0<x<1,∴1+x>2=>,∴只需比较1+x与的大小,∵1+x-==-<0,∴1+x<.因此c=最大.【答案】 C6.(2012·湖北高考)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=(  )A.    B.C.    D.【解析】 由题意可得x2+y2+z2=2ax+2by+2cz,①①与a2+b2+c2=10相加可得(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=10,所以不妨令.则x+y+z=2(a+b+c),5\n即=.【答案】 C二、填空题7.(2014·南昌模拟)若实数a,b,c满足a2+b2+c2=4,则3a+4b+5c的最大值为________.【解析】 由柯西不等式得(3a+4b+5c)2≤(a2+b2+c2)·(9+16+25)=200,所以-10≤3a+4b+5c≤10,所以3a+4b+5c的最大值为10.【答案】 108.以下三个命题:①若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;②若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;③若|x|<2,|y|>3,则<,其中正确命题的序号是________.【解析】 ①|a|-|b|≤|a-b|<1,所以|a|<|b|+1;②|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=|2a|,所以|a+b|-2|a|≤|a-b|;③|x|<2,|y|>3,所以<,因此<.∴①②③均正确.【答案】 ①②③9.若x>0,则函数f(x)=3x+的最小值为________.【解析】 ∵x>0,∴f(x)=3x+=x+x+≥3=3,等号成立的条件为x=∴x=,∴x=时,f(x)的最小值为3.【答案】 3三、解答题5\n10.(2014·贵州六校联盟)设a、b、c均为正实数,求证:++≥++≥++.【证明】 ∵a,b,c均为正实数,∴+≥≥当a=b时等号成立+≥≥当b=c时等号成立+≥≥当a=c时等号成立三个不等式相加即得++≥++≥++当且仅当a=b=c时等号成立即++≥++≥++.11.(2014·辽宁高考)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.【解】 (1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M={x|0≤x≤}.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得162≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]5\n=x·f(x)=x(1-x)=-2≤.12.(2014·东北三省联考)已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.(1)求证:|a+b+c|≤;(2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.【解】 (1)由柯西不等式得,(a+b+c)2≤(12+12+12)·(a2+b2+c2)=3,∴-≤a+b+c≤,所以a+b+c的取值范围是,即|a+b+c|≤.(2)同理,(a-b+c)2≤(a2+b2+c2)=3,若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,则|x-1|+|x+1|≥3,解集为∪.5

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发布时间:2022-08-25 17:50:10 页数:5
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文章作者:U-336598

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