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【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第11章 第3节 直接证明与间接证明课时提升练 文 新人教版
【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第11章 第3节 直接证明与间接证明课时提升练 文 新人教版
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课时提升练(五十六) 直接证明与间接证明一、选择题1.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,c都是偶数【解析】 “自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定为“a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”.【答案】 B2.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是( )A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定【解析】 ∵P2=2a+7+2=2a+7+2,Q2=2a+7+2=2a+7+2,∴P2<Q2,∴P<Q.【答案】 C3.(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】 由<a⇐b2-ac<3a2⇐b2+a(a+b)<3a2⇐b2+a2+ab<3a2⇐b2+ab<2a2⇐b2+ab-2a2<0⇐(a-b)(a-c)>0.【答案】 C4.(2014·上海模拟)“a=”是“对任意正数x,均有x+≥1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件5\nC.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 当a=时,x+=x+≥2=2×=1,当且仅当x=时等号成立.反之,不成立.【答案】 A5.(2014·成都模拟)已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A、B、C的大小关系为( )A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A【解析】 ∵≥≥,又f(x)=x在R上是减函数,∴f≤f()≤f,即A≤B≤C.【答案】 A6.(2014·北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人【解析】 利用反证法解决实际问题.假设满足条件的学生有4位及4位以上,设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁,则4位同学中必有两个人语文成绩一样,且这两个人数学成绩不一样,那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时,用A,B,C表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有AC,CA,BB,所以最多有3人.【答案】 B二、填空题7.设a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,则++≥________.【解析】 ∵a+b+c=1,∴++=++=3++++++5\n≥3+2+2+2=3+2+2+2=9.等号成立的条件是a=b=c=.【答案】 98.凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有≤f,已知函数y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为________.【解析】 ∵f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,且A、B、C∈(0,π),∴≤f=f,即sinA+sinB+sinC≤3sin=,所以sinA+sinB+sinC的最大值为.【答案】 9.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号).①x为直线,y,z为平面;②x,y,z为平面;③x,y为直线,z为平面;④x,y为平面,z为直线;⑤x,y,z为直线.【解析】 ①中x为直线,y,z为平面,则x⊥z,y⊥z,而x⊄y,∴必有x∥y成立,故①正确.②中若x,y,z均为平面,由墙角三面互相垂直可知x∥y是错的.③x、y为直线,z为平面,则x⊥z,y⊥z可知x∥y正确.④x、y为平面,z为直线,z⊥x,z⊥y,则x∥y成立.⑤x、y、z均为直线,x⊥z且y⊥z,则x与y还可能异面、垂直,故不成立.【答案】 ①③④三、解答题10.若a,b,c是不全相等的正数,求证:5\nlg+lg+lg>lga+lgb+lgc.【证明】 ∵a,b,c∈(0,+∞)∴≥>0,≥>0,≥>0又a,b,c是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.∴lg+lg+lg=lg>lg(··)=lg(abc)=lga+lgb+lgc.11.(2014·临沂模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且0<x<c时,f(x)>0.(1)证明:是函数f(x)的一个零点;(2)试用反证法证明>c.【解】 (1)证明:∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点,∴f(x)=0有两个不等实根x1,x2,∵f(c)=0,∴x1=c是f(x)=0的根,又x1x2=,∴x2=,∴是f(x)=0的一个根.即是函数f(x)的一个零点.(2)假设<c,又>0,由0<x<c时,f(x)>0,知f>0与f=0矛盾,∴≥c,又∵≠c,∴>c.12.对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;5\n②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)=0;(2)试判断函数f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)=(x∈[0,1])是否是理想函数.【解】 (1)证明:取x1=x2=0,则x1+x2=0≤1,∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,∴f(0)≥0.于是f(0)=0.(2)对于f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2不满足新定义中的条件②,∴f(x)=2x,(x∈[0,1])不是理想函数.对于f(x)=x2,x∈[0,1],显然f(x)≥0,且f(1)=1.任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0,即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2).∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数.对于f(x)=,x∈[0,1],显然满足条件①②.对任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1,有f2(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-2≤0,即f2(x1+x2)≤[f(x1)+f(x2)]2.∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不满足条件③.∴f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.综上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函数,f(x)=2x(x∈[0,1])与f(x)=(x∈[0,1])不是理想函数.5
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:50:03
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