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【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 6.6直接证明与间接证明课时作业 理.DOC

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课时作业42 直接证明与间接证明一、选择题1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了(  )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.答案:B2.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是(  )A.lg(1+a2)>0B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+3ab>2b2D.<解析:在B项中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.答案:B3.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析:由sinAsinC<cosAcosC得,cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,∴A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.答案:C4.设a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b,a<b及a=b中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中正确判断的个数为(  )5\nA.0B.1C.2D.3解析:①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c可以同时成立,如a=1,b=2,c=3,故正确的判断有2个.答案:C5.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系为(  )A.P>QB.P=QC.P<QD.由a取值决定解析:假设P<Q,要证P<Q,只要证P2<Q2,只要证2a+7+2<2a+7+2,只要证a2+7a<a2+7a+12,只要证0<12,∵0<12成立,∴P<Q成立.答案:C6.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则a的取值范围是(  )A.a<B.a<且a≠-1C.a>或a<-1D.-1<a<解析:∵f(x)以3为周期,所以f(2)=f(-1),又f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1),则f(2)=f(-1)=-f(1),再由f(1)>1,可得f(2)<-1,即<-1,解得-1<a<.答案:D二、填空题7.设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为________.解析:a=+2,b=2+两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然,<.∴a<b.答案:a<b8.用反证法证明命题“若实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个是非负数”时,第一步要假设结论的否定成立,那么结论的否定是:________.5\n解析:“至少有一个”的否定是“一个也没有”,故结论的否定是“a,b,c,d中没有一个是非负数,即a,b,c,d全是负数”.答案:a,b,c,d全是负数9.设a、b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a、b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).解析:若a=,b=,则a+b>1.但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a、b中至少有一个大于1.反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a、b中至少有一个大于1.答案:③三、解答题10.若a>b>c>d>0且a+d=b+c,求证:+<+.证明:要证+<+,只需证(+)2<(+)2,即a+d+2<b+c+2,因a+d=b+c,只需证<,即ad<bc,设a+d=b+c=t,则ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0,故ad<bc成立,从而+<+成立.11.已知函数y=f(x)是R上的增函数.(1)若a,b∈R且a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);(2)写出(1)中的命题的逆命题,判断真假并证明你的结论.解:(1)∵函数y=f(x)是R上的增函数,又∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).(2)逆命题:若a、b∈R,f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.真命题.证明如下:假设a+b<0,∵y=f(x)是R上的增函数,∴当a<-b时,f(a)<f(-b);当b<-a时,f(b)<f(-a).5\n∴f(a)+f(b)<f(-b)+f(-a),与已知矛盾,∴a+b<0不成立.∴a+b≥0.1.设非空集合M同时满足下列两个条件:①M⊆{1,2,3,…,n-1};②若a∈M,则n-a∈M(n≥2,n∈N*),则下列结论正确的是(  )A.若n为偶数,则集合M的个数为2B.若n为偶数,则集合M的个数为2-1C.若n为奇数,则集合M的个数为2D.若n为奇数,则集合M的个数为2解析:当n=2时,M⊆{1},且满足1∈M,2-1∈M,故集合M的个数为1;当n=3时,M⊆{1,2},且1∈M,3-1=2∈M,故集合M的个数为1;当n=4时,M⊆{1,2,3},且1∈M,4-1=3∈M,2∈M,4-2=2∈M,故集合M的个数为3,故可排除A,C,D,选B.答案:B2.设f(x)=ex-1.当a>ln2-1且x>0时,证明:f(x)>x2-2ax.证明:欲证f(x)>x2-2ax,即ex-1>x2-2ax,也就是ex-x2+2ax-1>0.可令u(x)=ex-x2+2ax-1,则u′(x)=ex-2x+2a.令h(x)=ex-2x+2a,则h′(x)=ex-2.当x∈(-∞,ln2)时,h′(x)<0,函数h(x)在(-∞,ln2]上单调递减,当x∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)在[ln2,+∞)上单调递增.所以h(x)的最小值为h(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.因为a>ln2-1,所以h(ln2)>2-2ln2+2(ln2-1)=0,即h(ln2)>0.所以u′(x)=h(x)>0,即u(x)在R上为增函数.故u(x)在(0,+∞)上为增函数.所以u(x)>u(0).而u(0)=0,所以u(x)=ex-x2+2ax-1>0.即当a>ln2-1且x>0时,f(x)>x2-2ax.5\n5

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发布时间:2022-08-25 17:48:14 页数:5
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文章作者:U-336598

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