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【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 8.7抛物线课时作业 理.DOC
【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 8.7抛物线课时作业 理.DOC
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课时作业59 抛物线一、选择题1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A.B.C.1D.解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0),双曲线x2-=1的渐近线方程是y=±x,即x±y=0,故所求距离为=.选B.答案:B2.(2014·辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.-B.-1C.-D.-解析:准线方程为x=-=-2,则p=4,焦点为(2,0),则直线AF的斜率kAF==-.答案:C3.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.8解析:由题可知准线方程为x=-,由抛物线定义知|AF|=x0=x0+,解得x0=1,选A.答案:A7\n4.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A.B.6C.12D.7解析:由题知F(,0),则直线的方程为y=(x-),代入抛物线方程得(x-)2=3x,即x2-x+=0,则xA+xB=,∴|AB|=+=12.答案:C5.设F为抛物线y2=2x的焦点,A、B、C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则||+||+||的值为( )A.1B.2C.3D.4解析:设A、B、C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,由抛物线的定义||=x1+=x1+,||=x2+,||=x3+,因F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3×=,从而||+||+||=x1+x2+x3+=3.答案:C6.过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )A.B.C.D.2解析:设A(x1,y1),由抛物线定义得AF=x1+=x1+1=3,∴x1=2代入抛物线方程得y1=2,∴A(2,2).又直线AB过F(1,0)得kAB=2,∴直线AB的方程为y=2(x-1)与抛物线联立得2x2-5x+2=0,解得x2=,∴B(,-),|AB|=x2+x1+p=+2=,又O到直线AB的距离d=,∴S△AOB=××=.答案:C二、填空题7\n7.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是________.解析:设M(x0,y0),y=-4x2得x2=-y,抛物线的焦点F(0,-),由抛物线定义得-y0+=1,解得y0=-.答案:-8.如右图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.解析:作BB′⊥l,AA′⊥l,由抛物线定义得AF=AA′=3,BF=BB′,由BC=2BF=2BB′得∠BCB′=30°,作FM⊥AA′于M,则∠AFM=∠BCB′=30°,AF=3,则AM=,则A′M==p,∴抛物线方程为y2=3x.答案:y2=3x9.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.解析:如图,在等边三角形ABF中,DF=p,BD=p,∴B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1.解得p=6.答案:67\n三、解答题10.设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为1,求|AB|的大小;(2)求证:·是一个定值.解:(1)∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0),准线方程为x=-1,∴直线l的方程为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,由直线l过焦点,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8.(2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,由得y2-4ky-4=0.∴y1+y2=4k,y1y2=-4,=(x1,y1),=(x2,y2).∵·=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3.∴·是一个定值.11.如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2).(1)若y1y2=-8,求抛物线C的方程;(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN斜率之比为定值.解:(1)设直线AM的方程为x=my+p,代入y2=2px得y2-2mpy-2p2=0,则y1y2=-2p2=-8,得p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)设B(x3,y3),N(x4,y4).由(1)可知y3y4=-2p2,y1y3=-p2.7\n又直线AB的斜率kAB==,直线MN的斜率kMN==,∴====2.1.已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.1B.2C.3D.4解析:因为x=-1恰为抛物线y2=4x的准线,所以可画图观察.如图,连接PF.d2=|PF|,∴d1+d2=d1+|PF|≥|FQ|===3.答案:C2.(2014·辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.解析:依题意得准线为x=-2,从而y2=8x,F(2,0),设直线AB为y-3=k(x+2),由题意,联立Δ=0,又因交点在第一象限所以k>0,解得k=,所以B(8,8)则直线BF的斜率为=,故选D.7\n答案:D3.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.解析:方法1:如图,以(0,a)为圆心,为半径作圆,当圆与抛物线有三个或四个交点时,C存在.联立y=x2,x2+(y-a)2=a有(y-a)(y-a+1)=0.即y=a或y=a-1.故a-1≥0,即a≥1.方法2:当C与原点重合时,∠ACB最小.故若存在C使得∠ACB为直角,则∠AOB≤,即·≥0,故a2-a≥0,又a>0,所以a≥1.答案:[1,+∞)4.(2014·安徽卷)如右图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.(1)证明:A1B1∥A2B2;(2)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值.7\n解:(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以==2p1,==2p2,故=,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此=2.又由(1)中的=知=.故=.7
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:48:19
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