【红对勾】（新课标）2023高考数学大一轮复习 10.6几何概型课时作业 理.DOC

课时作业72　几何概型一、选择题1．(2014·湖南卷)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)A.B．C.D．解析：在[－2,3]上符合x≤1的区间为[－2,1]，所以P＝＝.答案：B2．(2014·辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)A.B．C.D．解析：考查几何概型，所求概率为P＝＝＝.答案：B7\n3．如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)A.B．C.D．解析：不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由几何概型的概率公式可知P＝＝.答案：C4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为(　　)A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7解析：由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率为P＝＝＝0.7.答案：D5.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)7\nA.B．C.D．解析：∵S阴影＝(－x)dx＝(x－x2)|＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.答案：C6．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)A.B．C.D．解析：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则在Rt△AHB中，BH＝AB·cos60°＝2cos60°＝1；过点A作AM⊥AB，交BC于点M，则在Rt△ABM中，BM＝＝4，故MC＝BC－BM＝2.由图可知，要使△ABD为钝角三角形，则点D只能在线段BH或线段MC上选取，故所求事件的概率P＝＝，故选C.答案：C二、填空题7\n7．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________．解析：要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.故所求概率为P＝＝.答案：8．(2014·福建卷)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：设所求面积为S，则＝，∴S＝0.18.答案：0.189．(2014·重庆卷)某校早上800开始上课，假设该校学生小张与小王在早上730～750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)解析：7\n用x，y分别表示小张，小王到校的时间，则30≤x≤50,30≤y≤50，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD.小张比小王至少早到5分钟，即y－x≥5，如图对应区域为△DEF，所求概率P＝＝＝.答案：三、解答题10.如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.故弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.7\n所求弦长不超过1的概率为1－.11．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝＝.1．在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为(　　)A.B．C.D．解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有，长度为，P＝＝.答案：A2．已知△ABC外接圆O的半径为1，且·＝－，∠C＝，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由题意得＝，所以CA·CB＝3.在△ABC中，由于OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，所以AB＝.7\n由余弦定理得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CBcos，即CA2＋CB2＝6，所以CA＝CB＝，△ABC的形状为等边三角形．答案：B3．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为________．解析：设事件M＝“动点在三棱锥A—A1BD内”，P(M)＝＝＝＝＝.答案：4．已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1)从C、D、E、F、G、H这六个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求概率P(ξ≤4)．(2)在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PE|<2的概率．解：(1)P(ξ≤4)＝.(2)这是一个几何概型，所有点P构成的平面区域是正方形ABCD的内部，其面积是2×2＝4，满足|PE|<2的点P构成的平面区域是以E为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，它可以看作是由一个以E为圆心，2为半径、圆心角为的扇形的内部与两个直角边分别为1和的直角三角形内部构成．其面积是××22＋2××1×＝＋.所以满足|PE|<2的概率为＝＋.7