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【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课时提升练 文 新人教版

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课时提升练(三十四) 基本不等式一、选择题1.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是(  )A.log2a>0B.2a-b<C.2+<D.log2a+log2b<-2【解析】 ∵0<a<b,∴1=a+b>2,即<,ab<,∴log2a+log2b=log2(ab)<log2=-2.【答案】 D2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(  )A.1+   B.1+   C.3   D.4【解析】 ∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时等号成立,∴a=3.【答案】 C3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是(  )A.B.4C.D.5【解析】 ∵a>0,b>0,a+b=2,∴==≥=,当且仅当=,即b=2a时取等号,又a+b=2,5\n∴a=时,+有最小值.【答案】 C4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(  )A.3B.4C.D.【解析】 依题意,得(x+1)(2y+1)=9,∴(x+1)+(2y+1)≥2=6,即x+2y≥4.当且仅当即时等号成立.∴x+2y的最小值是4.【答案】 B5.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为(  )A.2B.C.1D.【解析】 由ax=by=3,得x=loga3,y=logb3,由a>1,b>1知x>0,y>0,+=log3a+log3b=log3ab≤log32=1,当且仅当a=b=时“=”成立,则+的最大值为1.【答案】 C6.若实数x,y满足x2+y2=1,则(1+xy)(1-xy)有(  )A.最小值和最大值1B.最大值1和最小值C.最小值,无最大值D.最大值1,无最小值【解析】 ∵x2+y2=1≥2|xy|,∴0<|xy|≤.∴0≤x2y2≤,∴≤1-x2y2≤1.5\n【答案】 B二、填空题7.已知各项为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则2a7+a11的最小值为________.【解析】 由已知a4a14=(2)2=8,又∵a4a14=a7a11=8,a7>0,a11>0,∴2a7+a11≥2=8,当且仅当2a7=a11时等号成立.【答案】 88.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为________.【解析】 因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(3a+b)=10++恒成立.因为+≥2=6,当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16,所以m≤16,即m的最大值为16.【答案】 169.(2014·湖北高考)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒),平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.【解析】 (1)当l=6.05时,F==≤==1900.当且仅当v=11米/秒时等号成立,此时车流量最大为1900辆/时.(2)当l=5时,F==≤==2000.当且仅当v=10米/秒时等号成立,此时车流量最大为2000辆/时.比(1)中的最大车流量增加100辆/时.【答案】 (1)1900 (2)100三、解答题10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.5\n【解】 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.当且仅当2x=8y且2x+8y-xy=0,即y=4,x=16时“=”成立.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,∴x+y=(x+y)·1=(x+y)=10++≥10+8=18.当且仅当=且2x+8y-xy=0,即y=4,x=16时“=”成立.故x+y的最小值为18.11.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)≥9.【证明】 (1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴++=2,∴+=+=2++≥2+2=4,∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).(2)法一 ∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+,同理1+=2+,∴==5+2≥5+4=9.∴≥9(当且仅当a=b=时等号成立).法二 =1+++,5\n由(1)知,++≥8,故=1+++≥9.12.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图642所示)图642(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该怎样设计?【解】 (1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=.则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160=80·+4160(x>1).(2)80+4160≥80×2+4160=1600+4160=5760.当且仅当2=,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.5

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发布时间:2022-08-25 17:50:15 页数:5
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文章作者:U-336598

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