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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课时作业 理
【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第6章 第4节 基本不等式课时作业 理
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课时作业(三十八) 基本不等式一、选择题1.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为( )A.8B.4C.2D.0答案:A解析:因为2≥2xy,x+2y=xy≤,又x,y都是正数,解得x+2y≥8.2.(2015·杭州七校模拟)已知实数x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )A.2B.4C.2+D.4+2答案:D解析:由已知,得lg2x·8y=lg2,所以2x·8y=2,即2x·23y=2,即x+3y=1,所以+=(x+3y)=4++≥4+2,故应选D.3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=2x图象上两个不同的点,若x1+2x2=4,则y1+y的最小值为( )A.2B.4C.2D.8答案:D解析:y1+y=2x1+22x2≥2=2=8(当且仅当x1=2x2=2时等号成立).故应选D.4.若x,y是正数,则2+2的最小值是( )A.3B.6\nC.4D.答案:C解析:由题意,得2+2≥2=2≥2=4,当且仅当即x=y=时,“=”成立.故应选C.5.(2014·山东)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )A.5B.4C.D.2答案:B解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.解法一:将2a+b=2,两端平方,得4a2+b2+4ab=20,又4ab=2×a×2b≤a2+4b2,当且仅当a=2b,即b=,a=时等号成立.所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b2≥4,即a2+b2的最小值为4.解法二:把2a+b=2,看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a2+b2的最小值是坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即2=4.解法三:由2a+b=2,可得b=2-2a,所以a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=52+4,即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.6.设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=6\n若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( )A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2答案:C解析:根据题意知:a∧b表示a,b中较小的,a∨b表示a,b中较大的.因为2≥ab≥4,所以a+b≥4.又因为a,b为正数,所以a,b中至少有一个大于或等于2,所以a∨b≥2.因为c+d≤4,c,d为正数,所以c,d中至少有一个小于或等于2,所以c∧d≤2.故选C.二、填空题7.(2014·福建)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.答案:160解析:设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为xm,因为无盖长方体的容积为4m3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为m,依题意,得y=20×4+10=80+20≥80+20×2=160,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以该容器的最低总造价为160元.8.规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,则k的值为________,此时函数f(x)=的最小值为________.答案:1 3解析:1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,∴=1或=-2(舍去),6\n∴k=1.f(x)===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时取等号.9.设0<x<1,a,b为正常数,则+的最小值为________.答案:(a+b)2解析:+=[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2=(a+b)2,当且仅当=,即x=时取等号.10.已知函数y=a2x-4+1(a>0且a≠1)的图象过定点A,且点A在直线+=1(m,n>0)上,则m+n的最小值为________.答案:8解析:由已知,函数y=a2x-4+1的图象过定点A(2,2),且点A在直线+=1上,所以+=1,所以m+n=(m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当即m=n=4时取等号,所以m+n的最小值为8.三、解答题11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解:已知x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,6\n∴≥8,∴xy≥64,当且仅当2x=8y且2x+8y-xy=0,即y=4,x=16时等号成立.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得+=1,∴x+y=(x+y)=10++≥10+8=18,当且仅当=且2x+8y-xy=0,即y=6,x=12时等号成立.故x+y的最小值为18.12.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)≥9.证明:(1)++=2,∵a+b=1,a>0,b>0,∴+=+=2++≥2+2=4,∴++≥8,当且仅当a=b=时等号成立.(2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+,同理1+=2+,∴==5+2≥5+4=9.∴≥9,6\n当且仅当a=b=时等号成立.证法二:=1+++,由(1),知++≥8,故=1+++≥9.13.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张,则共需分批,每批价值为20x元.由题意,知f(x)=·4+k·20x.当x=4时,f(4)=52,得k==.∴f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).(2)由(1),知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),∴f(x)≥2=48(元),当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:45:24
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文章作者:U-336598
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