2025年高考数学一轮讲义第4章 第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)

第6课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)[考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝__f＝1T＝ω2π__________2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2-φωπ-φω3π2-φω2π-φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径提醒：两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω(ω＞0)个单位长度．7/7 [常用结论]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝kπω+π2ω-φω(k∈Z)，对称中心是点kπω-φω，0(k∈Z)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．(　　)(2)y＝sinx的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx2．(　　)(3)将y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象对应的函数解析式是y＝3sin2x+π4．(　　)(4)如果函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin12x-π3的振幅、频率和初相分别为(　　)A．2，4π，π3　B．2，14π，π3C．2，14π，－π3　D．2，4π，－π32．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin2x-π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象(　　)A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度3．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cos3x+π8的图象，只需把y＝3cosx+π8图象上的所有点的(　　)7/7 A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________．考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[典例1]　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx-π4的图象，则f(x)＝(　　)A．sinx2-7π12　　　　B．sinx2+π12C．sin2x-7π12　D．sin2x+π12(2)为得到函数y＝cos2x+π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)A．向左平移5π12个单位长度B．向右平移5π12个单位长度C．向左平移5π6个单位长度D．向右平移5π6个单位长度[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：7/7 向左平移φω个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值．[跟进训练]1．(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)A．16　　B．14C．13　　D．12(2)将函数y＝tanωx-π2(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π6个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　)A．32　　B．2C．3　　D．6考点二　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式[典例2]　(1)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)A．sinx+π3　B．sinπ3-2xC．cos2x+π6　D．cos5π6-2x(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则f(π)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[跟进训练]2．(1)(2024·天门模拟)函数f(x)＝tan(ωx＋φ)ω>0，φ<π2的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝(　　)A．－π4　　B．－π3C．π6　　D．－5π12(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．考点三　三角函数图象与性质的综合应用[典例3]　(1)(多选)设函数f(x)＝cosωx+π3(ω>0)，已知f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则(　　)A．f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点B．f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C．f(x)在0，π6上单调递减D．ω的取值范围是73，103(2)(多选)若关于x的方程23cos2x－sin2x＝3－m在区间-π4，π6上有且只有一个解，则m的值可能为(　　)7/7 A．－2　　B．－1　C．0　　D．1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与三角函数性质有关的综合题的求解策略(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·广东汕头金山中学模拟)已知函数f(x)＝sinωx－3cosωx(ω>0，x∈R)，且f(x)所有的正零点构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π3个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论正确的是(　　)A．函数g(x)是偶函数B．g(x)的图象关于点-π3，0对称C．g(x)在-π3，π3上是增函数D．当x∈-π6，π6时，函数g(x)的值域是[1，2](2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．考点四　三角函数模型的应用[典例4]　(多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)7/7 A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面(1＋3)米时用时25秒[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数模型的应用体现在两方面一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．[跟进训练]4．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈0，π3，则PQ＝________米(用α表示)；当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米．7/7