2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径24 常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)(2)函数f(x)＝sin2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.(　×　)(3)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.(　×　)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)教材改编题1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)A．2，，B．2，，C．2，，D．2，，－答案　A解析　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度24 D．向右平移个单位长度答案　D解析　因为y＝2sin＝2sin3，所以要得到函数y＝sin3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可，故选D.3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.答案　1解析　当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1，即12点时潮水的高度是1m.题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)A．sinB．sinC．sinD．sin答案　B解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)24 A.B.C.D.答案　C解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝.故选C.思维升华　(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1　(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　)A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度答案　C解析　A项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得y＝cos ＝cos＝－sin的图象，故A错误；B项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得y＝cos ＝cos＝sin的图象，故B错误；C项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得y＝cos2x24 的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得y＝cos2＝cos＝sin的图象，故C正确；D项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得y＝cos2x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得y＝cos2＝cos＝sin的图象，故D错误．(2)(2023·宁波模拟)将函数y＝tan(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　)A.B．2C．3D．6答案　A解析　将函数y＝tan的图象向左平移个单位长度后，可得f(x)＝tan＝tan，将函数y＝tan的图象向右平移个单位长度后，可得g(x)＝tan＝tan，因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以－＝，k∈Z，即ω＝，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为.题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2　(1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)24 A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　C解析　依题意，解得∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而f ＝1，f ＝－1，∴＝－＝，故T＝π＝，则ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，而2cos－1＝1，∴＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|<，故φ＝－，∴f(x)＝2cos－1.将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y＝2cos－1，24 再向左平移个单位长度，得到g(x)＝2cos－1＝2cos－1，令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.答案　－解析　由题意可得，T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos ＝－.思维升华　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2　(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，24 则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝cosB．f(x)＝cosC．f(x)＝cosD．f(x)＝cos答案　B解析　由图象知π<T<2π，即π<<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点，所以cos＝0，所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝－k－，k∈Z.因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝，所以f(x)＝cos.(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f ＝________.答案　1解析　由题图可知，周期T＝π，ω＝＝2，所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，24 因为点在g(x)的图象上，所以2sin＝－2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，所以φ＝，所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝g＝2sin＝2sin，故f ＝2sin＝2sin＝1.题型三　三角函数图象、性质的综合应用命题点1　图象与性质的综合应用例3　(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　)A．g(x)在上单调递减B．点是g(x)的一个对称中心C．g(x)是奇函数D．g(x)在区间上的值域为[0,2]答案　B解析　因为f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx(ω>0)，所以f(x)＝2＝2sin，因为函数f(x)的零点依次构成一个公差为的等差数列，所以·＝，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝－2cos2x，即g(x)＝－2cos2x，所以g(x)为偶函数，故C错误；24 对于A，当x∈时，2x∈，所以g(x)在上单调递增，故A错误；对于B，g＝－2cos＝－2cos ＝0，故点是g(x)的一个对称中心，故B正确；对于D，因为x∈，所以2x∈，所以cos2x∈，所以g(x)∈[－1,2]，故D错误．命题点2　函数零点(方程根)问题例4　已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．答案　(－2，－1)解析　方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，∴题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根．即直线y＝和函数y＝sint，t∈的图象有两个不同交点，作出y＝，y＝sint的图象，如图中实线部分所示．由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1)．延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．答案　[－2,1)解析　同例题知，的取值范围是，∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．24 命题点3　三角函数模型例5　(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是(　　)A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒答案　BCD解析　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误；当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确；建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由所以又角速度ω＝＝(弧度/秒)，当t＝0时，∠tOP0＝，所以ω＝，φ＝－，24 所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，所以此时点P距离水面2米，故C正确；将H＝1＋代入H＝2sin＋1中，得t－＝2kπ＋或t－＝2kπ＋，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)．所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确．思维升华　(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3　(1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．g为偶函数B．g(x)的最小正周期是πC．g(x)的图象关于直线x＝对称D．g(x)在区间上单调递减答案　B解析　由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sinφ＝－1，即sinφ＝－，因为－π<φ<－，所以φ＝－.因为x＝为f(x)的零点，则－＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋(k∈Z)．由图知，<T＝<2π，24 则1<ω<，所以k＝1，ω＝，从而f(x)＝2sin.由题设，g(x)＝2sin＝2sin，则g＝2sin＝2sin为非奇非偶函数，所以A错误；g(x)的最小正周期T＝＝π，所以B正确；当x＝时，2x－＝≠，则g(x)的图象不关于直线x＝对称，所以C错误；当x∈时，2x－∈，则g(x)的图象不单调，所以D错误．(2)(2023·六安模拟)已知函数f(x)＝sinπωx－cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　A解析　f(x)＝sinπωx－cosπωx＝2sin，因为x∈(0,1)，所以πωx－∈，又因为函数f(x)＝sinπωx－cosπωx(ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，由图象得3π<ωπ－≤，解得<ω≤，所以实数ω的取值范围是.(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　　)24 A．1.4hB．2.4hC．3.2hD．5.6h答案　B解析　设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次，可得20－10sin＝20，t1∈[5,17]，解得t1＝9，20－10sin＝28，t2∈[5,17]，∴sin＝－，由sin ≈0.8得sin ≈－，由t2－＝得t2＝∈[5,17]，∴t2－t1＝＝2.4(h)．课时精练1．(2023·武汉模拟)为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sinx图象上每一点的纵坐标不变(　　)A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的答案　C解析　y＝sinx图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，故A，B错误；y＝sinx的图象先向右平移24 个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，故C正确，D错误．2．(2023·烟台模拟)函数f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到的，若g＝－f ，则φ的值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　因为函数f(x)＝sin的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到，所以g(x)＝sin＝sin.因为g＝－f ，所以sin＝－.故可得－2φ＝2kπ－，k∈Z或－2φ＝2kπ－，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.3．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140mmHg或舒张压≥90mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin，则下列选项中正确的是(　　)A．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升B．当天早晨9点时陈华的血压为125mmHgC．当天陈华没有高血压D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40mmHg答案　ABD解析　由已知，选项A，当天早晨6～7点，则t∈[0,1]，t＋∈，所以函数p(t)在[0,1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；24 选项B，当t＝3时，p(t)＝115＋20sin ＝125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125mmHg，故该选项正确；选项C，D，因为p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的收缩压为135mmHg，舒张压为95mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；他的收缩压与舒张压之差为40mmHg，故选项D正确．4．(2023·湘潭模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　)A．y＝－cos2xB．y＝cos2xC．y＝sinD．y＝sin答案　C解析　观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有＝－＝，解得T＝π，则ω＝＝2，而当x＝时，f(x)max＝1，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，因此，f(x)＝sin，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得f ＝sin，所以将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin.5．(2023·九江模拟)已知函数f(x)＝cos，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　)A．g(x)的最小正周期是2πB．g(x)的最小值为－2C．g(x)在(0，π)上单调递增24 D．g(x)的图象关于点对称答案　C解析　由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cos；再将所得图象向右平移个单位长度得y＝cos＝cos，所以g(x)＝cos，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；其单调递增区间为－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，C正确；对称中心为x－＝－＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点(k∈Z)对称，排除D.6．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为(　　)A．πB.C.D.答案　B解析　函数f(x)＝－sin2ωx＝(ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝的图象，再根据所得图象关于直线x＝对称，可得2×－2a＝kπ，k∈Z，令k＝0，可得实数a的最小值为.7．(2022·镇江模拟)已知函数f(x)＝2sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为________．24 答案　解析　将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得f ＝2sin，即g(x)＝2sin，由≤x＋≤，x∈[0,2π]，得≤x≤.8．(2023·芜湖模拟)函数y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________.答案　－解析　由y＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得f(x)＝sin＝sin的图象，因为f(x)＝sin的图象关于y轴对称，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝－.9．(2022·杭州模拟)求范围和图象：(1)y＝sinx的函数图象先向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的，得到f(x)的图象，求f(x)在上的取值范围；(2)如图所示，请用“五点法”列表，并画出函数y＝2sin在一个周期内的图象．2x＋xy24 解　(1)由题设，可得f(x)＝sin，当x∈时，2x＋∈，所以f(x)∈.(2)2x＋0π2πx－y020－20所以y＝2sin的图象如图．10．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋2cos2＋m的最小值为－2.(1)求函数f(x)的最大值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在上单调递增，求ω的最大值．解　(1)f(x)＝sinωx＋2cos2＋m＝sinωx＋cosωx＋1＋m＝2sin＋1＋m，∵函数f(x)的最小值为－2，∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，24 则f(x)＝2sin，∴函数f(x)的最大值为2.(2)由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝g(x)＝2sinωx的图象．∵y＝g(x)在上单调递增，∴函数g(x)的周期T＝≥，∴ω≤4，即ω的最大值为4.11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分别为(　　)A．f(x)＝sin2πx＋1，S＝2023B．f(x)＝sin2πx＋1，S＝2023 C．f(x)＝sin x＋1，S＝2024 D．f(x)＝sin x＋1，S＝2024答案　D解析　由图象知∴ω＝，b＝1，A＝，∴f(x)＝sin＋1.由f(x)的图象过点得sin＋1＝，24 ∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝0.∴f(x)＝sin x＋1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝＋＋＋＝4.又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12．(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝2sinsin＋sinx，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为(　　)A.B．－C.D.答案　A解析　由题意可知，f(x)＝2sinsin＋sinx＝2sincos＋sinx＝sin＋sinx＝cosx＋sinx＝2sin，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得y＝2sin的图象，因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，所以4φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝＋(k∈Z)，取k＝0，得φ＝.无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值．13．(2023·大连模拟)如图为函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则φ＝________.24 答案　解析　由三角函数的最大值可知A＝2，不妨设＝m，则x1＋x2＝2m，由三角函数的性质可知，2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则f(x1＋x2)＝2sin[2(x1＋x2)＋φ]＝2sin(2×2m＋φ)＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]＝2sin＝2sin(4kπ＋π－φ)＝2sinφ＝，则sinφ＝，结合|φ|≤，得φ＝.14．风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒．答案　S＝60－30cos t(t>0)　4解析　因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心角为t，此时离地面的高度为30＋30，故S＝60－30cos t(t>0)．24 由S＝60－30cos t≥45，得cos t≤，因为0≤t≤6，cos t≤，所以≤t≤，解得1≤t≤5，故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒．15．信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y＝Asin(ωx＋φ)，某种“信号净化器”可产生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为(　　)A．A0＝，ω0＝4，φ0＝B．A0＝－，ω0＝4，φ0＝C．A0＝1，ω0＝1，φ0＝0D．A0＝－1，ω0＝1，φ0＝0答案　B解析　设干扰信号对应的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ).由题图得，－＝T(T为干扰信号的周期)，解得T＝，∴ω＝＝＝4.∵函数的最大值为，∴A＝.24 将代入y＝sin(4x＋φ)，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝sin.∴欲消除y＝sin的波需要选择相反的波，即y＝－sin，∴A0＝－，ω0＝4，φ0＝.16．(2023·湘潭模拟)若函数f(x)＝cos2x＋sin在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意得，函数f(x)＝cos2x＋sin＝sin，因为0<x<α，所以<2x＋<2α＋，又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋≤3π，解得<α≤，所以α的取值范围为.24