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数学一轮复习专题5.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用 (新教材新高考)(练)教师版
数学一轮复习专题5.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用 (新教材新高考)(练)教师版
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专题5.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用练基础1.(2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中)函数的周期、振幅、初相分别是()A.,2,B.,,C.,2,D.,2,【答案】C【解析】根据三角函数的特征即可得出选项.【详解】由,则,振幅为,当时,,即初相为.故选:C2.(2021·江西新余市·高一期末(理))函数(其中,)的图像如图所示,为了得到的图像,则只要将的图像()A.向右移个单位长度 B.向右移个单位长度C.向左移个单位长度D.向左移个单位长度【答案】A【解析】由图中最低点纵坐标得到振幅A,利用相邻零点的距离等于四分之一周期,得到ω,由五点作图法对应的最高点的相位求得初相φ的值,得到函数的解析式,进而利用平移变换法则得到答案.【详解】由函数图象可得,则,可得.再由五点作图法可得,得,故函数的解析式为.由,故将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.故选:A.3.(2021·浙江高二期末)健康成年人的收缩压和舒张压一般为和.心脏跳动时,血压在增加或减小,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数为标准值.高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检,其中血压、视力等对于高考报考有一些影响.某同学测得的血压满足函数式,其中为血压为时间,其函数图像如上图所示,则下列说法错误的是()A.收缩压为B.C.舒张压为D.【答案】B 【解析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压,通过图象求出,,利用周期公式求出得解.【详解】由图象可知,函数的最大值为120,最小值为70,所以收缩压为,舒张压为,所以选项AC正确;周期,知,所以选项B错误;由题得,所以所以选项D正确.故选:B4.(2022·河南高三月考(文))将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象的一个对称中心为()A.B.C.D.【答案】C【解析】化简函数的解析式为,根据三角函数的图象变换,求得平移后的解析式,结合三角函数的性质,即可求解.【详解】由题意,函数,将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象的解析式为:,令,解得,当时,可得,所以函数的一个对称中心为.故选:C. 5.(2020·天津高考真题)已知函数.给出下列结论:①的最小正周期为;②是的最大值;③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】因为,所以周期,故①正确;,故②不正确;将函数的图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,故③正确.故选:B.6.(2018·天津高考真题(文))将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[-π4,π4]上单调递增B.在区间[-π4,0]上单调递减C.在区间[π4,π2]上单调递增D.在区间[π2,π]上单调递减【答案】A【解析】由函数y=sin2x+π5的图象平移变换的性质可知:将y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为:y=sin2x-π10+π5=sin2x.则函数的单调递增区间满足:2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2k∈Z,即kπ-π4≤x≤kπ+π4k∈Z, 令k=0可得函数的一个单调递增区间为-π4,π4,选项A正确,B错误;函数的单调递减区间满足:2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2k∈Z,即kπ+π4≤x≤kπ+3π4k∈Z,令k=0可得函数的一个单调递减区间为π4,3π4,选项C,D错误;本题选择A选项.7.(2019·天津高考真题(文理))已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为奇函数,∴;又,,又∴,故选C.8.(2021·兰州市第二中学高三月考(文))筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下,筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形,如图所示,圆的半径为4米,盛水筒从点处开始运动,与水平面的所成角为,且2分钟恰好转动1圈,则盛水筒距离水面的高度(单位:米)与时间(单位:秒)之间的函数关系式是() A.B.C.D.【答案】A【解析】有题意设,根据最高、最低高度,周期和初始高度,可得结果.【详解】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为,周期为120s,,最高点的纵坐标为,最低点的纵坐标为,所以,当t=0时,H=0,,所以.故选:A.9.【多选题】(2021·重庆一中高三其他模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.如图,一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位:)(在水面下则为负数),若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间,则与时间(单位:)之间的关系为(,,).则以下说法正确的有() A.B.C.D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为【答案】ABD【解析】由已知可得的值,得到函数解析式,取求得t的值,从而得解.【详解】解:∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,,则,故B正确;振幅A为筒车的半径,即,故A正确;由题意,t=0时,d=0,,即,,∴,故C错误;,由d=6,得,得∴当k=0时,t取最小值为,故D正确.故选:ABD.10.【多选题】(2021·福建高三三模)已知函数的最小正周期为,则下列结论中正确的是() A.对一切恒成立B.在区间上不单调C.在区间上恰有1个零点D.将函数的图像向左平移个单位长度,所得图像关于原点对称【答案】AB【解析】由题意利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再利用整弦函数的图象和性质,得出结论.【详解】解:∵函数的最小正周期为,∴,.令,求得为最大值,故有对一切恒成立,故A正确;在区间上,,函数没有单调性,故B正确;在区间上,,函数有2个零点,故C错误;将函数的图像向左平移个单位长度,所得的图像关于不原点对称,故D错误,故选:AB.练提升TIDHNEG1.【多选题】(2021·福建师大附中高三其他模拟)如图所示,函数,的部分图象与坐标轴分别交于点,,,且的面积为,以下结论正确的是() A.点的纵坐标为B.是的一个单调递增区间C.对任意,点都是图象的对称中心D.的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,再把得到的图象向左平移个单位得到【答案】BC【解析】首先求出函数的周期,再根据的面积,求出的纵坐标,即可求出函数解析式,再根据正切函数的性质一一判断即可;【详解】解:因为,所以最小正周期,即,又的面积为,所以,所以,即的纵坐标为,故A错误;因为,所以,所以,因为所以,所以,令,,解得,,所以函数的单调递增区间为,,故B正确;令,,解得,,所以函数的对称中心为,,故C正确; 将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,得到,再将函数向左平移个单位,得到,故D错误;故选:BC2.(2020·嘉祥县第一中学高三其他)【多选题】已知函数的最大值为,其图像相邻的两条对称轴之间的距离为,且的图像关于点对称,则下列结论正确的是().A.函数的图像关于直线对称B.当时,函数的最小值为C.若,则的值为D.要得到函数的图像,只需要将的图像向右平移个单位【答案】BD【解析】由题知:函数的最大值为,所以.因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为,所以,,,.又因为的图像关于点对称,所以,,.所以,.因为,所以.即. 对选项A,,故A错误.对选项B,,,当时,取得最小值,故B正确.对选项C,,得到.因为,故C错误.对选项D,的图像向右平移个单位得到,故D正确.故选:BD3.【多选题】(2021·湖南永州市·高三其他模拟)已知函数,则下列结论中错误的是()A.点是的一个对称中心点B.的图象是由的图象向右平移个单位长度得到C.在上单调递增D.是方程的两个解,则【答案】BCD 【解析】首先利用三角恒等变化将函数化为一个角的一种函数形式即,然后根据三角函数的性质进行判断.【详解】对于A:令,解得,当时,,所以点是的一个对称中心点,故A正确;对于B:的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为,所以平移得到的图象不是的图象,故B错误;对于C:当时,,而函数在上单调递减,所以在上单调递减,故C错误;对于D:令,解得或,即或,所以,故D错误.故选:BCD.4.(2021·北京石景山区·高一期末)设,其中,,若 对一切恒成立,则对于以下四个结论:①;②;③既不是奇函数也不是偶函数;④的单调递增区间是.正确的是_______________(写出所有正确结论的编号).【答案】①③【解析】利用辅助角公式可得且,根据题设不等式恒成立可得,再由各项的描述,结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.【详解】由题设,且,∵对一切恒成立,∴,即,则,①,正确;②,而,所以,错误;③,故,即是非奇非偶函数,正确;④因为在上单调递增,所以,令,则等价于 上单调递增,错误;故答案为:①③5.(2021·浙江嘉兴市·高三月考)已知平面单位向量,满足,,记为向量与的夹角,则的最小值是______.【答案】【解析】设,,,由可得点在直线上运动,由可得点在直线上运动,即点是与的交点,然后过点作交于点,可得,然后向量与的夹角为角,在中,由正弦定理可得,然后利用三角函数的单调性可求出答案.【详解】如图所示,设,,因为,所以所以点在直线上运动,又因为,所以点在直线上运动,故点是与的交点.利用相似可知,过点作交于点所以,故点的轨迹是以为圆心,半径为的圆.又因为向量与的夹角为角, 在中,,由正弦定理可得所以因为与都单调递增,所以当时最大,此时,所以的最大值为6.(2021·浙江高二期末)将函数的图像向右平移个单位,再把每个点横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数,则的解析式_________,若对于任意,在区间上总存在唯一确定的,使得,则m的最小值为________.【答案】【解析】利用三角函数图象的平移可得第一空,通过解析式画出函数的图象,结合条件“对于任意,在区间上总存在唯一确定的,使得”,求出的取值范围,进而确定的最小值.【详解】函数的图像向右平移个单位得到,再把每个点横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数,则.画出其图象如图, 由图可知,对于任意,在区间上总存在唯一确定的,使得,的取值范围为.所以的最小值为.故答案为:;.7.(2017·浙江高考真题)已知函数(I)求的值(II)求的最小正周期及单调递增区间.【答案】(I)2;(II)的最小正周期是,.【解析】(Ⅰ)由,,.得.(Ⅱ)由与得 ..所以的最小正周期是.由正弦函数的性质得,解得,所以,的单调递增区间是.8.(2021·山西临汾市·高三其他模拟(理))海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数,,画出函数图象,并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?参考数据:【答案】(1)作图见解析,;(2)该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留2个小时.【解析】(1)由所给数据描点成图即可,可利用图象所过最高点求出即可;(2)由题意知货船需要的安全水深为米,解即可求解.【详解】 (1)由图象可知,,则有又因为时取最大值6.5,可得,所以(2)货船需要的安全水深为米,所以当时就可以进港.令,得得,即,当时,;当时,,所以,该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留2个小时.9.(2021·天津高二期末)已知函数,(1)求函数的定义域和最小正周期;(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,然后再向右平移()个单位长度,所得函数的图象关于轴对称,求的最小值. 【答案】(1),;(2)【解析】(1)结合正切型函数求定义域即可求出定义域,对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期;(2)根据平移伸缩变换求出变换后的解析式,然后结合函数图象的性质即可求出结果.【详解】(1)因为,即,所以函数的定义域所以函数的最小正周期,(2)因为将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,所以,因为又向右平移()个单位长度, 所以,又因为平移后函数的图象关于轴对称,所以,即,所以当时,取得最小值,此时,所以取得最小值为.10.(2021·四川省内江市第六中学高一期中)已知函数,.(1)若图象纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再向右平移个单位,得到的图象在上单调递增,求的最大值;(2)若函数在内恰有3个零点,求的取值范围.【答案】(1)5π/6;(2)(2,3√2/2).【解析】(1)把函数通过图像变换变为,然后根据已知单调区间求的最大值;(2)利用函数()和()的图象进行分类讨论来解决函数零点问题.【详解】(1)图象纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再向右平移个单位得到函数,因为,所以,因为,所以, 又因为得到的图象在上单调递增,所以,解,所以的最大值为.(2),令,因为,所以,,所以,,令,显然不是其方程的解,所以得,,画出函数和函数的图象,如下图,则当时,对应的,而当时,对应的只有一个解,不满足题意;当时,此时没有的值对应,所以此时无解,不满足题意;当时,对应的,而当时,对应的有两个解,不满足题意;当时,对应的,,而此时对应的只有两个解,不满足题意;当时,令,得或,此时对应的,,而当对应的时,对应一个的值,而当时对应两个的值,所以此时有三个解,满足题意;当时,对应的,而此时对应的只有一个解,不满足题意;故的取值范围为. 练真题TIDHNEG1.(2021·全国高考真题(理))把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表达式;解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象, 根据已知得到了函数的图象,所以,令,则,所以,所以;解法二:由已知的函数逆向变换,第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,即为的图象,所以.故选:B.2.(2021·全国高考真题(文))已知函数的部分图像如图所示,则_______________.【答案】【解析】 首先确定函数的解析式,然后求解的值即可.【详解】由题意可得:,当时,,令可得:,据此有:.故答案为:.3.(2021·全国高考真题(理))已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为________.【答案】2【解析】先根据图象求出函数的解析式,再求出的值,然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知,即,所以;由五点法可得,即; 所以.因为,;所以由可得或;因为,所以,方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足,即,解得,令,可得,可得的最小正整数为2.方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足,又,符合题意,可得的最小正整数为2.故答案为:2.4.(2020·江苏省高考真题)将函数y=的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】当时故答案为:5.(2017·北京高考真题(文))已知函数f(x)=3cos(2x-π3)-2sinxcosx.(I)求f(x)的最小正周期;(II)求证:当x∈[-π4,π4]时,fx≥-12. 【答案】(1)T=2π2=π(2)见解析【解析】(Ⅰ)f(x)=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(Ⅱ)因为-π4≤x≤π4,所以-π6≤2x+π3≤5π6.所以sin(2x+π3)≥sin(-π6)=-12.所以当x∈[-π4,π4]时,f(x)≥-12.6.(2021·浙江高考真题)设函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在上的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题意结合三角恒等变换可得,再由三角函数最小正周期公式即可得解;(2)由三角恒等变换可得,再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】(1)由辅助角公式得,则,所以该函数的最小正周期;(2)由题意, ,由可得,所以当即时,函数取最大值.
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