2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题29函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（Word版附解析）

专题29函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换题型二：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式题型三：方程根(函数零点)问题题型四：三角函数图象与性质的综合问题题型五：三角函数模型培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【考点预测】1．简谐运动的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相 (A>0，ω>0)，x≥0AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径【常用结论】1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.3.对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．4.相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 【方法技巧】1.作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.由f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（ωx0＋φ＝π）即可求出φ.（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.3.研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题；方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数；三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.二、【题型归类】【题型一】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【典例1】(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)A．sinB．sinC．sinD．sin【解析】依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象， 所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．故选B.【典例2】将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于(　　)A.B.C.D.【解析】y＝sin2x＝cos.将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos＝cos，由题意知2φ－＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z)，又0≤φ<，所以φ＝. 故选C.【典例3】(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．【解析】将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝3sin＝3sin.令2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴的方程为x＝＋，k∈Z，分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－，与y轴最近．【题型二】由图象确定y＝Asin(ωx＋φ的解析式【典例1】(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝cosB．f(x)＝cosC．f(x)＝cosD．f(x)＝cos【解析】由图象知π<T<2π，即π<<2π，所以1<|ω|<2. 因为图象过点，所以cos＝0，所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝－k－，k∈Z.因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝，所以f(x)＝cos.故选B.【典例2】已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.【解析】由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.【典例3】若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)A．g(x)＝sinB．g(x)＝sin C．g(x)＝sin2xD．g(x)＝sin【解析】根据题图有A＝1，T＝－＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f ＝sin＝1⇒sin＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f ＝sin＝sin2x.故选C.【题型三】方程根(函数零点)问题【典例1】函数y＝sin2x＋cos2x－m在上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．【解析】函数y＝sin2x＋cos2x－m在上有两个不同的零点，转化为m＝cos2x＋sin2x＝2sin，在x∈上有两个不同的实数根．设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sint，在t∈上有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1)．【典例2】已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在 上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．【解析】方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，∴题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根．∴y＝和y＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1)．【题型四】三角函数图象与性质的综合问题【典例1】(多选)将函数f(x)＝2sin－1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．函数g(x)的最小正周期是πB．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在上的最大值是1【解析】依题意得g(x)＝2sin－1＝2sin－1，函数g(x)的最小正周期T＝＝π，因此选项A正确；当x＝－时，函数y＝sin没有取得最值，因此函数g(x) 的图象不关于直线x＝－对称，故选项B不正确；当x∈时，2x＋∈⊆，此时函数g(x)单调递减，故选项C正确；当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此此时函数g(x)没有最大值，选项D不正确．故选AC.【典例2】(多选)已知函数f(x)＝sin，则下列四个命题中正确的是(　　)A．f(x)的最小正周期是πB．f(x)＝是x＝的充分不必要条件C．函数f(x)在区间上单调递增D．函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)【解析】对于A，由最小正周期T＝＝π知A正确；对于B，由f(x)＝得2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，可知f(x)＝是x＝的必要不充分条件，B不正确；对于C，由<x<得<2x－<，因为y＝sinx在上单调递减，故C不正确；对于D，y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度得y＝＝|sin2x|的图象，由y＝|sinx|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)得y＝|sin2x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)，D正确．故选AD.【典例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x) 的一个单调递减区间为(　　)A.B.C.D.【解析】因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以＋θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．又因为－≤θ≤，所以θ＝，所以f(x)＝sin.令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．当k＝0时，得到一个单调递减区间为.又⊆.故选B.【题型五】三角函数模型【典例1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．【解析】以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒旋转一周，设∠OO1P＝θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T＝12，所以θ＝·2π＝t，f(t)＝3＋2sin＝3－2cost(t≥0)， 当t＝40时，f(t)＝3－2cos＝4(米)．【典例2】(多选)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为(　　)A．摩天轮离地面最近的距离为4米B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米【解析】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h＝60－60cos t＋8＝－60cos t＋68，故B正确；h＝－60cos t＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；令0≤t≤π，解得0≤t≤15，令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，则h在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减， 当t＝15时，hmax＝128，当t＝20时，h＝－60cos ×20＋68＝98>90，所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，故D不正确．故选BC.【典例3】如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.(1)求t＝时，A，B两点间的距离；(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．【解析】(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，即A，B两点间的距离为.(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin2t，所以y＝sin－2sin2t＝cos2t－sin2t＝cos，即函数关系式为y＝cos(t＞0)，当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈ .三、【培优训练】【训练一】如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．【解析】由题设并结合图形可知，AB＝＝＝＝，得＝4，则ω＝，所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin＝.【训练二】(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是(　　)A．R＝6，ω＝，φ＝－B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减D．当t＝20时，|PA|＝6【解析】由题意可知T＝60，所以＝60，解得ω＝，又从点A(3，－3)出发，所以R＝ 6，6sinφ＝－3，又|φ|<，所以φ＝－，故A正确；y＝6sin，当t∈[35，55]时，t－∈，则sin∈[－1，0]，y∈[－6，0]，点P到x轴的距离为|y|，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10，25]时，t－∈，所以函数y＝6sin在[10，25]上不单调，故C不正确；当t＝20时，t－＝，则y＝6sin＝6，且x＝6cos＝0，所以P(0，6)，则|PA|＝＝6，故D正确．综上，正确的是ABD.故选ABD.【训练三】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．【解析】(1)由图可得A＝2，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)． (2)设g(x)＝f(x)＋2cos，则g(x)＝2sin＋2cos＝2sin＋2，令t＝sin，t∈[－1，1]，记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－4＋，因为t∈[－1，1]，所以h(t)∈，即g(x)∈，故a∈.故a的取值范围为.【训练四】已知函数f（x）＝sin＋＋b.（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围.【解析】（1）∵函数f（x）＝sin＋＋b，且函数f（x）的图象关于直线x＝对称，∴2ω·＋＝kπ＋（k∈Z），且ω∈[0，3]，∴ω＝1.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）. （2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b.∵x∈，∴2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递减.又f（0）＝f，∴当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，即sin≤－b－<sin或1＋＋b＝0，∴b∈∪.故实数b的取值范围为∪.【训练五】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，由题知函数f(x)的最小正周期为＝，解得ω＝4，又函数f(x)在x＝处取到最小值－2， 则A＝2，且f ＝－2，即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，令k＝0可得φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin，再向左平移个单位长度可得g(x)＝2sin＝2cos2x，令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，作出函数g(x)＝2cos2x，x∈的图象，由图可知－2<m＋2≤或m＋2＝2，解得－4<m≤－2或m＝0.∴m的取值范围为－4<m≤－2或m＝0. 【训练六】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面为10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．【解析】(1)由题意可知H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，B≥0)，摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，得A＝40，B＝50.又函数周期为30，ω＝＝，所以H(t)＝40sin＋50(0≤t≤30)，又t＝0时，H(t)＝10，所以10＝40sin＋50，即sinφ＝－1，φ可取－，所以H(t)＝40sin＋50＝－40cost＋50(0≤t≤30)．(2)H(t)＝－40cost＋50＝30，cost＝，解得t＝5， 所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米．(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为，游客甲，乙中间相隔5个座舱，则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了t(5≤t≤30)分钟，则游客乙在摩天轮上坐了t－5分钟，所以高度差为h＝－40cost＋50－＝－40＝－40＝－40cos，因为5≤t≤30，所以≤t＋≤，当t＋＝π，即t＝10时，h取得最大值40.四、【强化测试】【单选题】1.函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　)A．－2，B．－2，－C．2，D．2，－【解析】振幅为2，当x＝0时，φ＝，即初相为.故选C.2.函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 【解析】令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D．令x＝，得y＝sin＝0，排除C．故选A.3.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)A．－　　　　　　　　　　B．C．1D．【解析】由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan2x，所以f＝tan＝.故选D.4.将函数y＝sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，所得到的图象的解析式是（　　）A.y＝sinxB.y＝cosxC.y＝sin4xD.y＝cos4x【解析】y＝sin→y＝sin→y＝sin＝sinx.故选A.5.已知函数f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cosωx的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝1B．A＝3C．ω＝D．ω＝【解析】由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cosωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asinωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.故选C.6.为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解析】因为y＝sin2x＝cos＝cos，y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B．7.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ的值为（　　）A.－B.C.－D.【解析】由题意，得＝－＝，所以T＝π. 由T＝，得ω＝2.由图可知A＝1，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.故选B.8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为(　　)A.B.C.D.【解析】根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，可得A＝1，·＝－，∴ω＝2.结合“五点法”作图可得2×＋φ＝，∴φ＝，f(x)＝sin.将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象． 再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin的图象．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，可得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，令k＝0，可得一个单调递增区间为.故选A.【多选题】9.已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx－，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的值域为[－1，1]B．函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位得到C．函数f(x)在上单调递减D．点是函数f(x)的一个对称中心【解析】f(x)＝sinxcosx＋(2sin2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin，易知A，D均正确，对于B选项，y＝sin2x的图象应向右平移个单位，得到f(x)的图象，因此B选项不正确；对于C选项，当－≤x≤时，－≤2x－≤，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此C选项不正确．故选AD. 10.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)A．y＝g(x)是奇函数B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)【解析】依题意可得A＝2，＝＋＝，故T＝π，T＝＝π，解得ω＝2.f＝2sin[2×＋φ]＝2sin＝0，因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝2sin.将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin2x的图象，函数g(x)＝2sin2x是奇函数，故A对；函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)，故B不对；函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)，故C不对；函数g(x)＝2sin2x的单调递减区间为(k∈Z)，故D对．选AD.11.已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为4π，则下列叙述中正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增 C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称D．函数f(x)在区间[0，π]上的最大值为－【解析】由题意知＝4π，则ω＝，所以f(x)＝cos.因为f＝cos≠±1，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，A错误；因为x∈(0，π)，所以x＋∈，当x＋∈时，f(x)单调递减；当x＋∈时，f(x)单调递增，所以f(x)在[0，π]上的最大值为cos＝－，B错误，D正确；f(x)的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为g(x)＝cos＝cos＝－sinx，是奇函数，图象关于原点对称，C正确．故选CD.12.将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)A．最大值为，图象关于直线x＝－对称B．图象关于y轴对称C．最小正周期为πD．图象关于点成中心对称【解析】将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos2x的图象．对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x) 的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为＝π，故C正确；当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．故选BCD.【填空题】13.函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．【解析】把函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos(2x－π＋φ)的图象，与函数y＝sin的图象重合，则cos(2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，所以－＋φ＝－，则φ＝，14.已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．【解析】由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋ ≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.15.已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移________个单位长度．(本题所填数字要求为正数)【解析】∵曲线C1：y＝cosx＝sin＝sin，∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y＝sin向右至少平移个单位长度．16.若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时，∃x0∈，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是________．【解析】因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，又φ>0，所以当φ取最小值时，φ＝，f(x)＝2sin.因为x0∈，所以2x0＋∈，所以－<f(x0)≤2，即a的取值范围是(－，2]．【解答题】17.如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离． 【解析】连接MP(图略)．依题意，有A＝2，＝3，又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.当x＝4时，y＝2sin＝3，所以M(4，3)．又P(8，0)，所以|MP|＝＝5.即M，P两点相距5km.18.将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．(1)求函数h(x)的单调递增区间；(2)若g＝，求h(α)的值．【解析】(1)由已知可得g(x)＝sin，则h(x)＝sin2x－sin＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由g＝得sin＝sin＝，所以sin＝－，即h(α)＝－.19.在①函数f(x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5，②函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝－1，③函数f(x)的一个对称中心的横坐标为 这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线处，并解决问题．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，且________，点A(2，2)在该函数的图象上，求函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选①，设函数f(x)的最小正周期为T，则＝5，得T＝6＝，则ω＝，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin＝2，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝－，所以函数f(x)＝2sin，令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．若选②，则sin(－ω＋φ)＝±1，得－ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则φ＝＋，k1，k2∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝－，ω＝＋k2π，k2∈Z，又0＜ω＜，所以ω＝，所以函数f(x)＝2sin，令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)． 若选③，则2sin＝0，得ω＋φ＝k1π，k1∈Z，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则φ＝－＋，k1，k2∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－，ω＝＋k2π，k2∈Z，又0＜ω＜，所以ω＝，所以函数f(x)＝2sin，令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3)．20.已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．【解析】(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋a＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin＋1＋a的最大值为2，所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：x0π2x＋π2πf(x)＝2sin120－201 画图如下：21.已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值．【解析】(1)由题意知f(x)＝sin2ωx＋1＋cos2ωx＝2sin＋1，∵周期T＝π，即＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin＋1，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)∵g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，当x∈时，≤2x－≤，∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.22.已知向量m＝，n＝(cosx，cos2x)，函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．【解析】(1)f(x)＝m·n＝sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.所以函数的最大值为1，最小正周期为T＝＝＝π.(2)由(1)得f(x)＝sin.将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象．因此g(x)＝sin，又x∈，所以2x＋∈，sin∈.故g(x)在上的值域为.