函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用8种常见考法归类（解析版）

函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用8种常见考法归类l高频考点考点一“五点法”作函数y=Asinωx+φ的图象考点二函数y=Asinωx+φ中各量的物理意义考点三三角函数的图象变换(一)已知初始函数与变换过程，求目标函数(二)已知变换过程和目标函数，求初始函数(三)已知初始函数与目标函数，求变换过程(四)平移前后两个函数的名称不一致(五)与辅助角公式的结合考点四三角函数图象变换的综合应用(一)与周期性的综合(二)与对称性的综合(三)与奇偶性的综合(四)与单调性的综合(五)与零点的综合(六)综合应用考点五根据函数图象确定函数解析式考点六根据函数性质确定函数解析式考点七y=Asinωx+φ函数的图象和性质综合应用考点八三角函数模l解题策略1.函数y=Asin(ωx+φ)(1)匀速圆周运动的数学模型如图，点P从P0(t=0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H=rsin(ωt+φ)+h.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象①用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：π3π列表.先由ωx+φ=0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx+φ的值求出y的值，列出下表.22·1· π3πωx+φ0π2π22-φπ-φπ-φ3π-φ2π-φx22ωωωωωy=Asin(ωx+φ)0A0-A0描点.在同一平面直角坐标系中描出各点.连线.用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象.成图.利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图.②φ,ω,A对函数y=Asinωx+φ的图象的影响φ,ω,A对函数y=Asinωx+φ的图象的影响函数y=sin(x+φ)y=sinx+φ(其中φ≠0)的图象，可以看作是把y=sinx图象上中ϕ对图象的影响所有的点向右(当φ<0时)或向左(当φ>0时)平行移动φ个单位长度而得到的.函数y=sin(ωx+φ)函数y=sin(ωx+φ)(其中ω>0)的图象，可以看作是把函数y中ω(ω>0)对图象的影响=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短1(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.ω函数y=Asin(ωx+函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0)的图象，可以看作是把函数φ)中A(A>0)对图象的y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短影响(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.③由y=sinx的图象通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的方法：注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx+ϕ”变化多少.2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质·2· 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质奇偶性：φ=kπ时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；πφ=kπ+时，函数y=2Asin(ωx+φ)为偶函数．周期性：2πy=Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期为T=ω单调性：根据y=sint和t=ωx+φ的单调性来研究πππ3π由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z由+2kπ≤ωx+φ≤+2222得单调增区间；2kπ,k∈Z得单调减区间对称性：对称轴对称中心函数y=Asin(ωx+φ)对称轴方程的求法：令函数y=Asin(ωx+φ)对称中心sin(ωx+φ)=±1，得ωx+φ=kπ+π(k∈Z)，则x的求法：令sin(ωx+φ)=0，得ωx+φ2kπ-φ(2k+1)π-2φ=kπ(k∈Z)，则x=(k∈Z)，=(k∈Z)，所以函数y=Asin(ωxω2ω所以函数y=Asin(ωx+φ)的图象关(2k+1)π-2φkπ-φ+φ)的图象的对称轴方程为x=2ω于点,0(k∈Z)成中心对ω(k∈Z)．称．拓展：函数y=Acos(ωx+φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx+φ)=±1，得ωx+φ=kπ(k∈Z)，则x=kπ-φkπ-φ(k∈Z)，所以函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z)．ωωπ函数y=Acos(ωx+φ)对称中心的求法：令cos(ωx+φ)=0，得ωx+φ=kπ+(k∈Z)，则x=2(2k+1)π-2φ(2k+1)π-2φ(k∈Z)，所以函数y=Acos(ωx+φ)的图象关于点,0(k∈Z)成中2ω2ω心对称．3.三角函数对称性与其他性质的转化三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性.因为对称性⇒奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f(x)为奇函数；若函数图像关于y轴对T称，则函数f(x)为偶函数)；对称性⇒周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心2TT之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为)；对称性⇒单调性(在相邻的对称轴24之间，函数f(x)单调，特殊的，若f(x)=Asin(wx),A>0,w>0，函数f(x)在[θ1,θ2]上单调，且0∈T[θ1,θ2]，设θ=maxθ1,θ2，则≥θ深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密4联系)4.函数图象变换解题策略三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系,纵坐标的变化与A的关系：·3· (1)对函数y=sinx，y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.sinα=πππcos2−α=cosα−2,cosα=sinα+2(3)确定函数y=sinx的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出A,ω,φ的值.由y=Asin(ωx+φ)的图象得到y=sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.(4)要注意是将f(x)的图象进行平移得到g(x)的图像,还是将g(x)的图象进行平移得到f(x)的图像,认真读题，是解题的第一要求，图象变换的两种情况先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换，这两种它们所移动的长度单位是不一样的．解答此类题目时应注意将自变量x的系数提取出来，紧紧抓住谁是变元这个关键--函数图象的左右平移是指自变量x的改变程度，另外应记清：左“+”右“-”，上“+”下“-”的规律.5.给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：已知函数图像求函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0,w>0)的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定w，由适合解析式点的坐标确定ϕ，但有图像求得的y=Asin(wx+ϕ)(A>0,w>0)的解析式一般不唯一，只有限定ϕ的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数A,w,ϕ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”π(及图像上升时与x轴的交点)为wx+ϕ=0；“第二点”(即图像曲线的最高点)为wx+ϕ=；“第2三点”(及图像下降时与轴的交点)，为wx+ϕ=π；“第四点”(及图像曲线的最低点)为wx+ϕ=3π；“第五点”(及图像上升时与x轴的交点)为wx+ϕ=2π.2(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)2π的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ．(由ω=，即可求出ω.T求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)，即可求出φ)(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.(4)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．6.三角函数的应用(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：振幅周期频率相位初相·4· 2π1ωAT=f==ωx+φφωT2π(3)三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象，匀速圆周运动是比较典型的一个.解决这类问题时，首先寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有关问题.l考点精析考点一“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象1π1(2023·全国·高三专题练习)(1)利用“五点法”画出函数f(x)=y=sinx+在长度为一26个周期的闭区间的简图.列表:1πx+26xy作图:(2)并说明该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数f(x)图象的对称轴方程.2π【答案】(1)见解析(2)见解析(3)x=2kπ+,k∈Z.3【分析】(1)先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数y=1πsinx+在长度为一个周期的闭区间的简图；26ππ(2)依据y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，y=sinx+的图象，再把661π所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sinx+的图象，再把所261π得图象的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sinx+的图象；261ππ(3)令x+=kx+，求出x即可.262【详解】解:(1)先列表,后描点并画图·5· 1ππ3πx+0π2π2622π2π5π8π11πx-33333y010-10；π(2)把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,再把所得图象的点的横坐标伸长到61π1π原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin2x+6的图象，即y=sin2x+6的图象；1ππ2π(3)由x+=kx+,x=2kπ+,k∈Z，26232π所以函数的对称轴方程是x=2kπ+,k∈Z.3【点睛】本题考查五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查计算能力，是基础题.2(2023春·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习)某同学用“五点法”画函数πfx=Asinωx+φω>0,φ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：2π3πωx+φ0π2π223π5πx88Asinωx+φ02-20(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数fx的解析式．(2)将fx的图象向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到gx的图象．若gx的图象关于直线xπ=对称，求θ的最小值．3π【答案】(1)填表见详解；fx=2sin2x+47π(2)24【分析】(1)根据表中已知数据先得出A的值，根据周期即可得到ω的值，从而得到φ的值，进而函数fx的解析式可得到，表中数据可补充完整；(2)先根据平移变换求得gx的解析式，再根据正弦的对称性质即可求解．【详解】(1)根据表中已知数据，得A=2，·6· 5π3πT=4-=π，可得ω=2，883ππ当x=时，ωx+φ=π，解得φ=，84π所以fx=2sin2x+．4数据补全如下表：π3πωx+φ0π2π22ππ3π5π7πx-88888Asinωx+φ020-20ππ(2)由(1)知fx=2sin2x+4，得gx=2sin2x+2θ+4．ππkππ令2x+2θ+=+kπ，解得x=+-θ，k∈Z．4228π由于函数gx的图象关于直线x=对称，3kπππkπ5π令+-θ=，解得θ=-，k∈Z．2832247π由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值．243(2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习)某同学用“五点法”画函数fx=πAsinωx+φω>0,φ<在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：22ππ10πx-x1x2333π3πωx+φ0π2π22sinωx+φ010-10fx030y20(1)请利用上表中的数据，写出x1、y2的值，并求函数fx的解析式；4π(2)若hx=f4x-，求函数hx的单调增区间；32π1(3)将函数fx的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标32ππ不变，得到函数gx的图象，若gx-m<2在,上恒成立，求实数m的取值范围．424π1π【答案】(1)x1=3，y2=-3，fx=3sin2x+3；π5π(2)-+kπ,+kπ,k∈Z；12126(3)3-2,2+2·7· 【分析】(1)根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可；ππππ(2)先求得hx=3sin2x-，再令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z求解即可；3232(3)先根据平移变换及周期变换的规则可得函数gx的解析式，再将问题转化为-2+m<gxminππ，然后求出函数gx在,上的最值即可.gxmax<2+m42【详解】(1)由表格根据五点作图的规律，π2ππ10π2π可得3+3=x1-3，y2=-3，A=3，T=3--3=4π，4π2π1得x1=，ω==，3T212ππ∴×-+φ=0，得φ=，2334π1π综上：x1=3，y2=-3，fx=3sin2x+3；π(2)由(1)可知，hx=3sin2x-，3ππππ5π令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，2321212π5π所以函数hx的单调增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.12122π12ππ1(3)将函数fx的图象向右平移3个单位得y=3sin2x-3+3=3sin2x，1再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得gx=3sinx.2由gx-m<2得-2+m<gx<2+m，ππ若gx-m<2在,上恒成立，42-2+m<gxmin则，gxmax<2+m又当x∈π,π6,3时，gx=3sinx∈，422-2+m<66∴2，得3-2<m<2+.3<2+m26所以实数m的取值范围为3-2,2+24(2023·全国·高三专题练习)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)ππA>0，ω>0，-<φ<的图像．22(1)列出下表，根据表中信息．πωx+φ0πa2π2x13b79·8· f(x)020c0①请求出A，ω，φ的值；②请写出表格中a，b，c对应的值；③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y=f(x)一个周期内的图像；π(2)当ω=时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象4上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值．ππ3π【答案】(1)①2，，-；②，5，-2；③图象见解析；442(2)A=2或A=23.【分析】(1)根据表格代入，利用待定系数法求解即可；(2)根据点的坐标，写出向量，利用向量求解即可.【详解】(1)①由表格可知，A=2，ω+φ=0ππ由π，解得ω=，φ=-，3ω+φ=442ππ②∵ω⋅b+φ=b-=π，∴b=5，44ππ3π3π当x=7时，a=7×-=，c=2sin=-2，4422③作出一个周期的图象，如图，π2π(2)∵ω=，∴T==8，则B(x0,0),C(x0+2,A),E(x0+6,-A)，4π42当△BCE为直角三角形时，BC⋅CE=(2,A)⋅(4,-2A)=8-2A=0，解得A=2.2BC⋅BE=(2,A)⋅(6,-A)=12-A=0，解得A=23，2CE⋅BE=(6,-A)⋅(4,-2A)=24+2A≠0，综上，A=2或A=23.5(2023春·江西·高三校联考期中)已知变换T1：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向ππ左平移个单位长度；变换T2：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的236倍.请从T1，T2两种变换中选择一种变换，将函数gx=3sinx+3的图象变换得到函数y=fx的图象，并求解下列问题.·9· π11π(1)求fx的解析式，并用五点法画出函数y=fx在一个周期内的闭区间-,上的图象；33(2)求函数fx的单调递减区间，并求fx的最大值以及对应x的取值集合.xπ【答案】(1)fx=3sin++3，图象见解析26(2)2π+4kπ,8π+4kπ，k∈Z；最大值为6，xx=2π+4kπ,k∈Z333xπ【分析】(1)根据平移变换可得fx=3sin++3，进而结合五点法画出图象即可；26(2)根据正弦函数的图象及性质求解即可.xπ【详解】(1)选择T1，T2两种变换均得fx=3sin2+6+3，列表如下：π2π5π8π11πx-33333xππ3π+0π2π2622xπsin+010-1026fx36303图象如图所示：πxπ3π(2)令+2kπ≤+≤+2kπ，k∈Z，22622π8π解得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，332π8π所以函数fx的单调递减区间为+4kπ,+4kπ，k∈Z.33xππ当+=+2kπ，k∈Z，262·10· 2π即x=+4kπ，k∈Z时，fx取得最大值6，3此时对应的x的取值集合为xx=2π+4kπ,k∈Z.3考点二函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义π1(2023·全国·高三专题练习)函数y=2sin2x+的振幅、频率和初相分别为()41π1π1π1πA.2，，B.2，，C.2，，D.2，，-π42π4π82π8【答案】A【分析】根据函数解析式直接判断选项.π2π11π【详解】函数y=2sin2x+的振幅是2，周期T==π，频率f==，初相是，42Tπ4故选：A．2(2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中)函数y=Asinωx+φA>0,ω>0ππ的振幅是2，最小正周期是，初始相位是-，则它的解析式为.212π【答案】y=2sin4x-12π【分析】根据y=2sin4x-的物理意义求解．122πππ【详解】由题意A=2，T==，ω=4，φ=-，ω212π所以解析式为y=2sin4x-．12π故答案为：y=2sin4x-．12π3(2023·全国·高三专题练习)已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin100πt+,t∈[0,3+∞).(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;1171(2)分别求t=0,,,,时的电流.600150600601π53【答案】(1)T=,f=50,A=5,φ=.(2);5;0;-5;05032【解析】(1)由三角函数的A，ω和φ的意义进行求解即可．(2)代入函数解析式求值即可.π【详解】解：(1)∵i=5sin100πt+,t∈[0,+∞)3π∴A=5，φ=，ω=100π32π2π11π所以函数的周期T===，频率f==50，振幅A=5，初期φ=.ω100π50T3π53(2)当t=0时,i=5sin=;32·11· 1πππ当t=时,i=5sin+=5sin=5;60063212π当t=时,i=5sinπ+=5sinπ=0;1503377π3当t=时,i=5sinπ+=5sinπ=-5;60063215π当t=时,i=5sinπ+=5sin2π=0.6033【点睛】本题主要考查三角函数解析式的意义，属于基础题．考点三三角函数的图象变换(一)已知初始函数与变换过程，求目标函数π1(2023·河北·高三学业考试)为了得到函数y=2sinx+，x∈R的图象，只需将函数y=32sinx，x∈R的图象上所有的点()ππA.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度33ππC.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度66【答案】A【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.π【详解】由题意可知为了得到函数y=2sinx+，x∈R的图象，3π只需将函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，3故选：Aπ2(2023·全国·高三专题练习)为了得到函数y=cos2x-的图像，可以将函数y=cosx的图4像上()1πA.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位281πB.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位28πC.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位8πD.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位8【答案】B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.ππ【详解】由y=cos2x-4=cos2x-8可知，函数y=cosx的图像每个点的横坐标缩1π短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数y=cos2x的图像，再向右平移个单位，得函数y28ππ=cos2x-8=cos2x-4的图像.故选：B·12· π3(2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考期中)先将函数y=sin2x+的图象上61的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标2不变)，所得函数的解析式为()1π1πA.y=2sin4x+6B.y=2sinx+6ππC.y=2sinx+6D.y=2sin4x+6【答案】B【分析】根据图象的伸缩变换即可求解.π【详解】将函数y=sin2x+的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不6π变,得到y=sinx+，6π11π再将y=sinx+6所有点的纵坐标缩短到原来的2(横坐标不变得到y=2sinx+6，故选：B3π4(2023·全国·高三专题练习)将y=sin3x-图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵43π坐标不变)，得到y=gx的图象，再将y=gx图象向左平移，得到y=φx的图象，则y=4φx的解析式为()3πA.y=sinxB.y=cosxC.y=sin9xD.y=sin9x-2【答案】A【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.3π【详解】将y=sin3x-图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到43πgx=sinx-的图象，43π3π3π再将y=gx图象向左平移4，得到φx=sinx+4-4=sinx的图象，故选：A.xππ5(2023·全国·高三专题练习)将函数y=3sin+的图像向左平移个单位长度，再向上463平移4个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为()xπxπA.g(x)=3sin4+4+4B.g(x)=3sin4+12+4xπxπC.g(x)=3sin4+2+4D.g(x)=3sin4+12-4【答案】A【分析】根据平移规则，依次先左右平移再上下平移后化简解析式即可.·13· xππ【详解】函数y=3sin+的图像向左平移个单位长度，463x+π3πxπ可得y=3sin4+6=3sin4+4，xπ再向上平移4个单位长度，可得g(x)=3sin++4.44故选:A.(二)已知变换过程和目标函数，求初始函数6(2023·全国·高三专题练习)将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数g(x)=cos2x的图象，则f(x)的解析式是()A.f(x)=cosxB.f(x)=cos2xC.f(x)=cos4xD.f(x)=cos8x【答案】C1【分析】通过g(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍得到f(x)的解析式.21【详解】将函数g(x)图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍，可得到函数f(x)的图象，2因为g(x)=cos2x，所以f(x)=cos4x．故选：C．7(2023·河南郑州·模拟预测)把函数y=fx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来ππ的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cosx-的图象，则fx=()4315ππ5π1πA.sin2x+12B.sin2x-12C.sin2x+12D.sin2x-12【答案】C【分析】利用三角函数的图象变换计算即可.【详解】由题意可设y=fx=sinωx+φ，则函数y=fx图象上所有点的纵坐标不变，横1π坐标伸长到原来的2倍，得y=sinωx+φ，再向右平移个单位长度，得到函数241π1ππy=sin2ωx-4+φ=sin2ωx-8ω+φ=cosx-311πππ则2ω=1⇒ω=2，所以sin2ωx-8ω+φ=sinx-3+φ+12，ππ5π故φ+=+2kπ,k∈Z⇒φ=+2kπ,k∈Z，122125π根据选项可知k=0时，φ=，故C正确；12故选：C18(2023·陕西汉中·统考模拟预测)把函数y=fx图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，2πππ纵坐标不变，再把所得曲线向右平移4个单位长度，得到函数y=sin2x-3的图像，则f3=()·14· 31A.B.-C.1D.-122【答案】Cπ【分析】根据题意可知，可采用逆向思维，将函数y=sin2x-的图像作逆向变换，即可得3π到函数y=fx的解析式，然后计算可得f的值.3π【详解】对函数y=sin2x-的图像作逆向变换，3ππππ即首先将曲线向左平移4个单位长度，得到y=sin2x+4-3=sin2x+6π然后再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即得到fx=sinx+；6ππππ所以，f3=sin3+6=sin2=1.故选：C.(三)已知初始函数与目标函数，求变换过程π9(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知函数fx=sin2x-，则要得到函数gx=sin2x的图6象，只需将函数fx的图象()ππA.向左平移个单位B.向右平移个单位66ππC.向左平移个单位D.向右平移个单位1212【答案】C【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.ππ【详解】因为gx=sin2x=sin2x+12-6，π所以要得到函数gx=sin2x的图象，只需将函数fx的图象向左平移个单位即可，12故选：C.π10(2023·浙江金华·统考模拟预测)为了得到函数y=3sin2x-的图象，只要把y=5π3sin2x+图象上所有的点()5ππA.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度552π2πC.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度55【答案】A【分析】根据函数图象平移的性质即可求解.πππ【详解】为了得到函数y=3sin2x-5=3sin2x-5+5的图象，只要把y=ππ3sin2x+图象上所有的点向右平行移动个单位长度，55·15· 故选：Aπ11【多选】(2023春·广东·高三校联考阶段练习)为了得到函数y=sin4x-的图象，只需将3π函数y=sinx+的图象()61πA.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度481πB.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度48π1C.向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变24π1D.向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变24【答案】AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.π1π【详解】将y=sinx+6图象上所有点的横坐标缩短到原来的4，得到y=sin4x+6，纵坐标不变，ππ再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y=sin4x-的图象，A正确；83πππ将y=sinx+6的图象向右平移2个单位长度，得到y=sinx-3，1再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=4πsin4x-的图象，C正确.3故选：ACπ12【多选】(2023·河北唐山·统考三模)为了得到函数y=cos2x-的图象，只需把余弦曲线3y=cosx上所有的点()1πA.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移231πB.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移26π1C.向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变32π1D.向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变62【答案】BC【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换即可得出结果.ππ【详解】函数y=cosx的图象向右平移个长度单位，得y=cosx-，331π再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y=cos2x-；231函数y=cosx图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y=cos2x，2·16· πππ再向右平移6个长度单位，得y=cos2x-6，即y=cos2x+3.故选：BC(四)平移前后两个函数的名称不一致π13(2023·陕西汉中·统考一模)为得到函数y=cos2x+的图象，只需将y=sin2x的图象3()5π5πA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度12122π2πC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度33【答案】A【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.π5ππ5π5π【详解】y=cos2x+3=cos2x+6-2=sin2x+6=sin2x+125π故可由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到.12故选：A.π14(2023·全国·高三专题练习)要得到函数y=3sin2x+的图象，只需要将函数y=3cos2x3的图象()ππA.向右平行移动个单位B.向左平行移动个单位1212ππC.向右平行移动个单位D.向左平行移动个单位66【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解ππ【详解】y=3cos2x=3sin2x+2，要得到y=3sin2x+3的图象，π-π23π需要向右平移=个单位．212故选：Aππ15(2023·高三课时练习)要得到函数fx=2cos2x+3的图象，只需gx=sin2x+3的图象πA.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)2π1B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)22π1C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)42πD.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)4【答案】D·17· 5π【分析】先将函数y=fx的解析式化为fx=2sin2x+，再利用三角函数图象的变6换规律得出正确选项.πππππ【详解】∵fx=2cos2x+3=2sin2x+3+2=2sin2x+4+3，ππ因此，将函数gx=sin2x+的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原34π来的2倍(横坐标不变)，可得到函数fx=2cos2x+的图象，故选D.3【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：(1)左右平移指的是在自变量x上变化了多少；(2)变换时两个函数的名称要保持一致.(五)与辅助角公式的结合16(2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习)要得到函数y=sinx+cosx的图象，只需将函数y=2cos2x的图象上所有的点()πA.先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)8π1B.先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)82πC.先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)4π1D.先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)42【答案】Aπ【分析】利用两角和的余弦公式化简为y=2cosx-，再由函数y=Acosωx+φ的图4象变换规律得出结论．π【详解】y=sinx+cosx=2cosx-，4ππ将函数y=2cos2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y=2cos2x-=88ππ2cos2x-4，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2cosx-4，故选：A.3117(2023·河南·统考模拟预测)要得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需将函数y=22cos2x的图象()ππA.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度612ππC.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度612【答案】A【分析】首先将函数利用辅助角公式化成一个三角函数，再根据平移规则求出结果.31ππ【详解】因为y=2sin2x+2cos2x=cos2x-3=cos2x-6，·18· π3所以只需将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin2x+621cos2x的图象.2故选：A.ππ18(2023·甘肃兰州·校考模拟预测)要得到函数y=4sinx-6cosx-6图象，只需把函数y=2sin2x的图象()ππA.向右平移个单位B.向左平移个单位66ππC.向右平移个单位D.向左平移个单位33【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论.πππ【详解】因为y=4sinx-6cosx-6=2sin2x-6，ππ为了得到函数y=4sinx-6cosx-6图象，只需把函数y=2sin2x的图象向右平移π个单位，6故选：A.19(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=3sinx-cosx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到fx的导函数fx的图象，则fφ=()A.-3B.3C.1D.-1【答案】B【分析】求得函数fx=3sinx-cosx的导数，结合三角函数图像的平移变换可得fx+φsinφ=1的表达式，则可得fx+φ=fx，求得，即可求得fφ.cosφ=0【详解】因为fx=3sinx-cosx，所以fx=3cosx+sinx，而fx+φ=3sinx+φ-cosx+φ=3sinxcosφ+3cosxsinφ-cosxcosφ+sinxsinφ=3cosφ+sinφsinx+3sinφ-cosφ⋅cosx，3cosφ+sinφ=1sinφ=1由题意得fx+φ=fx，所以,解得，3sinφ-cosφ=3cosφ=0所以fφ=3sinφ-cosφ=3，故选：B.另解：因为fx=3sinx-cosx，所以fx=3cosx+sinx，由题意知fx+φ=fx对一切实数x恒成立，所以令x=0，得fφ=f0=3cos0+sin0=3，故选：B.考点四三角函数图象变换的综合应用·19· (一)与周期性的综合π1(2023春·贵州·高三校联考阶段练习)已知函数fx=sinωx+ω>0的最小正周期为42π，将函数的图象向左平移φφ>0个单位长度后得到的函数图象经过原点，则φ的最小值为3()ππππA.B.C.D.12642【答案】Cππ【分析】由题可得ω=3，fx=sin3x+4，进而可得y=sin3x+3φ+4，然后解三角方程即得.π22π【详解】∵函数fx=sinωx+ω>0的最小正周期为π，∴ω=2=3，43π3π将函数fx=sin3x+的图象向左平移φφ>0个单位长度后得到的图象对应的解析4ππ式为y=sin3x+φ+4=sin3x+3φ+4，ππkππ因为其图象经过原点，所以sin3φ+=0，所以3φ+=kπ，k∈Z，解得φ=-，44312k∈Z.πππ又φ>0，所以φ的最小值为-=.3124故选：C2(2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)将函数fx=sinωx(ω>0)的图像向右2π平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则ω的最小值为()3A.2B.3C.4D.6【答案】B2π2ωπ【分析】由题有sinωx-3=sinωx-3=sinωx，据此可得答案.2π2ωπ【详解】由题有sinωx-3=sinωx-3=sinωx，2ωπ则=2kπ,k∈Z，得ω=3k,k∈Z，结合ω>0，得ω=3.3故选：Bπ3(2023·全国·高三专题练习)设函数f(x)=tanωx(ω>0)，将函数f(x)的图象向右平移个单3位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为__.【答案】3ωπ【分析】根据图象平移写出平移后的函数解析式，由图象重合有-=kπ(k∈Z)，即可求ω3最小值.·20· πωπ【详解】将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到g(x)=tanωx-的图象，33ωπ由于所得函数的图象与原图象重合，故-=kπ(k∈Z)，所以ω=-3k(k∈Z)，3当k=-1时，ω的最小值为3.故答案为：3.(二)与对称性的综合π4(2023·陕西榆林·统考模拟预测)将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，再把所得201图象各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x=()2ππππA.B.C.D.80604020【答案】C【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案.π【详解】将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，20ππ所得函数图象的解析式为y=cos2x-20=cos2x-10，1再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，2π所得图象的函数解析式是y=cos4x-.10ππkππ令4x-=kπ,k∈Z，则x=+,k∈Z，当k=0时，x=.1040440故选：Cππ5(2023·全国·高三专题练习)将函数y=sinωx-ω>0的图像分别向左､向右各平移66个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为.【答案】3【分析】由两个正弦型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差π的整数倍，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可得解．ππ【详解】将函数y=sinωx-(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，66ππωππ得到y=sinωx+6-6=sinωx+6-6，ππωππy=sinωx-6-6=2sinωx-6-6，因为两个函数图象的对称轴重合，ωππωππωπ所以6-6--6-6=3=kπ，k∈Z，所以ω=3k，k∈Z，因为ω>0，所以当k=1时，ω取得最小值为3．·21· 故答案为：3．25π2π6(2023·全国·高三专题练习)将函数fx=sin12-x-sinx+12的图象向左平移ππφφ>0个单位长度后，得到函数gx的图象，若gx满足g6-x=g6+x，则φ的最小值为()ππ2π3πA.B.C.D.4234【答案】Aππ【分析】先化简fx=cos2x+6，再平移gx=cos2x+2φ+6，由函数gx的图象πππ关于直线x=对称有2×+2φ+=kπ，进而得到φ的最小值.66625π2π【详解】解法一：fx=sin12-x-sinx+122π2ππ=cosx+12-sinx+12=cos2x+6，π则gx=fx+φ=cos2x+2φ+，6ππ因为gx满足g6-x=g6+x，π所以函数gx的图象关于直线x=对称，6ππkππ所以2×+2φ+=kπ，k∈Z，所以φ=-，k∈Z，6624π因为φ>0，所以φ的最小值为．故选:A．425π2π解法二fx=sin12-x-sinx+122π2ππ=cosx+12-sinx+12=cos2x+6，π则gx=fx+φ=cos2x+2φ+，6ππ因为gx满足g6-x=g6+x，π所以函数gx的图象关于直线x=对称．6ππππ因为gx=-2sin2x+2φ+6，所以g6=-2sin2×6+2φ+6=0，π即sin2φ+=0，2πkππ所以2φ+=kπ，k∈Z，所以φ=-，k∈Z，224π因为φ>0，所以φ的最小值为．4故选：A．·22· ππ7(2023·全国·模拟预测)将函数fx=cosωx-ω>0的图象向左平移个单位长度得69π到函数gx的图象.若函数gx的图象关于点,0对称，则ω的最小值为.33【答案】2π【分析】根据函数图象平移结论求得g(x)，再根据g(x)的图象关于关于点,0对称，列方3程即可求解.πππωπ【详解】由题可得gx=cosωx+9-6=cosωx+9-6，π∵g(x)的图象关于点,0对称，3πωωπππ9k3所以+-=kπ+,k∈Z，解得ω=+,k∈Z，3962423∵ω>0，故ω的最小值为.23故答案为：.2π8(2023·四川南充·统考三模)已知点φ,0是函数fx=2sin3x+φ0<φ<的一个对称2中心，则为了得到函数y=2sin3x+1的图像，可以将fx图像()πA.向右平移个单位，再向上移动1个单位12πB.向左平移个单位，再向上移动1个单位4πC.向右平移个单位，再向下移动1个单位12πD.向右平移个单位，再向下移动1个单位4【答案】A【分析】利用点φ,0是函数fx的一个对称中心，求出φ，在分析图像平移即可.π【详解】因为点φ,0是函数fx=2sin3x+φ0<φ<的一个对称中心，2所以fφ=2sin3φ+φ=0，所以4φ=kπ,k∈Z，ππ又0<φ<，所以φ=，24ππ所以fx=2sin3x+4=2sin3x+12所以要得到函数y=2sin3x+1的图像则只需将fx图像：π向右平移个单位，再向上移动1个单位，12故选：A.(三)与奇偶性的综合·23· π9(2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位得3到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tanφ=()33A.-3B.3C.-D.33【答案】C【分析】根据图像平移得函数g(x)的解析式，由函数g(x)是偶函数，解出φ，可得tanφ.π2π【详解】函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位，得g(x)=sin2x++φ的图33像，2πππ又函数g(x)是偶函数，则有+φ=kπ+，(k∈Z)，解得φ=kπ-，k∈Z；326π3所以tanφ=tankπ-=-.63故选：C．10(2023·全国·高三专题练习)将函数y=sinx+3cosxx∈R的图像向右平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()πππ5πA.B.C.D.12636【答案】D【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于y轴对称即可得到m的式子，根据范围即可确定m的具体值.π【详解】y=sinx+3cosx=2sinx+，将图像向右平移m个单位长度后，变为y=3π2sinx-m+，3ππ此时图像关于y轴对称，所以当x=0时，-m+=+kπ，(k∈Z)，32π则m=--kπ.65π又∵m>0，则m的最小值是.6故选：D.π11(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=3cos2x--cos2x，若要得到一个奇函数的图2象，则可以将函数fx的图象ππA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度66ππC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度1212【答案】Cπ【详解】由题意可得，函数f(x)=3sin2x-cos2x=2sin2x-，设平移量为θ，得到函数6·24· πππkπg(x)=2sin2x+2θ-，又g(x)为奇函数，所以2θ-=kπ,k∈Z,即θ=+,k∈66122Z,，所以选C【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|ϕ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图1象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(ωx+φ)ω的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A(横坐标不变)，这时的曲线就是y=Asin(ωx+φ)的图象．1路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sinωx的图ωϕ象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移ω个单位长度，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y=Asin(ωx+φ)的图象．π12(2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<，将y2π=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则8xg(x)+g的最小值为()297A.-B.-2C.-D.044【答案】Ax【分析】先利用题给条件求得g(x)+g的解析式，再利用二次函数的性质即可求得g(x)2x+g的最小值.2ππ【详解】函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<，将y=f(x)的图象向左平移个单位长度，28π得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=2sin2x+φ+4π由g(x)的图象关于y轴对称可得，g(0)=2sinφ+4=2ππππ3ππππ又由-<φ<，可得-<φ+<，则φ+=，则φ=，22444424ππ则g(x)=2sin2x++=2cos2x，44x2129则g(x)+g2=2cos2x+2cosx=2(2cosx+cosx-1)=4cosx+4-4x9则g(x)+g的最小值-.24故选：Aπ13(2023·重庆·统考三模)将函数f(x)=2sin2x+的图象向右平移φφ>0个单位得到函4·25· 3π数gx的图象，则“φ=”是“函数gx为偶函数”的()8A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意求出函数gx的解析式，然后通过函数gx是偶函数求出φ的取值范围，3π3π最后与φ=进行对比，即可得出“φ=”与“gx为偶函数”之间的关系．88【详解】因为函数fx的图像向右平移φφ>0个单位长度后得到函数gx的图像，π所以gx=sin2x-2φ+，4因为gx为偶函数，πππkπ所以-2φ+=+kπk∈Z，即φ=--k∈Z，42823π当k=-1时，φ=可以推导出函数gx为偶函数，83π而函数gx为偶函数不能推导出φ=，83π所以“φ=”是“gx为偶函数”的充分不必要条件.8故选：A14(2023·北京海淀·高三专题练习)将函数fx=asinx+bcosx(a,b∈R且b≠0)的图象上各1π点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则26a=．b【答案】3【分析】利用三角函数图象的对称性，找到关于a，b的方程即可求解.【详解】将函数fx=asinx+bcosx(a,b∈R且b≠0)的图象上各点的横坐标缩短为原来1的倍，得到函数g(x)=f2x=asin2x+bcos2x(a,b∈R)的图象，再将所得图象向左平2ππππ移6个单位长度后，得到函数h(x)=gx+6=asin2x+6+bcos2x+6(a,b∈R)，π因为h(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以函数g(x)的图象的一条对称轴为x=，6πππ31a所以有g=asin+bcos=a+b=g(0)=b，解得=3.63322b故答案为：3(四)与单调性的综合15(2023秋·天津河西·高三天津市第四中学校考期末)将函数fx=sin2x+3cos2x的图象向π右平移个单位长度后得到函数gx的图象，则函数gx的一个单调递增区间为()6·26· A.-π,ππ,3ππ,ππ,0B.C.-D.-4444362【答案】A【分析】先对函数fx解析式化简，然后通过平移变换得到函数gx解析式，然后求解出函数gx的单调递减区间，通过对k进行赋值选取合适的单调区间即可.π【详解】因为fx=sin2x+3cos2x=2sin2x+，3πππ函数图象向右平移6个单位长度后得到函数gx，即gx=2sin2x-6+3=2sin2x，ππππ函数gx的单调递增区间为：-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，解得-+kπ≤x≤2244+kπ(k∈Z)，ππ当k=0时，-≤x≤，故选项A正确；443π5π当k=1时，≤x≤，选项B错误；445π3π当k=-1时，-≤x≤-，选项C、选项D错误.44故选：A.1ππ16(2023·全国·模拟预测)将函数fx=3sinx+的图象上各点向右平移个单位长31212度得函数gx的图象，则gx的单调递增区间为()A.2kπ-5π,2kπ+22π5π,4kπ+4π,k∈ZB.4kπ-,k∈Z33335π4πC.6kπ-,6kπ+,k∈ZD.4π,9π33【答案】C【分析】先由图象平移变换得到gx，再由正弦函数的性质求出gx的单调递增区间.1ππ【详解】将fx=3sinx+的图象向右平移个单位长度后，312121ππ1π得到gx=3sin3x-12+12，即gx=3sin3x+18的图象，π1ππ令2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z，231825π4π解得6kπ-≤x≤6kπ+，k∈Z，335π4π所以gx的单调递增区间为6kπ-,6kπ+，k∈Z.33故选：C.17(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)把函数fx=cos2x+φ(0<φ<π)的图π象向右平移个单位后，图象关于y轴对称，若fx在区间-a,a上单调递减，则a的最大值为6.·27· π【答案】6【分析】先由平移后为偶函数求得φ，再根据fx的单调递减区间求解即可.π【详解】函数fx=cos2x+φ(0<φ<π)的图象向右平移个单位后，6πππ得到y=fx-6=cos2x-6+φ=cos2x-3+φ的图象，π由已知，所得函数的图象关于y轴对称，∴y=cos2x-+φ为偶函数，3ππ∴-+φ=kπ,k∈Z，即φ=+kπ,k∈Z，33ππ∵0<φ<π，∴φ=，∴fx=cos2x+.33∵余弦函数y=cosx的单调递减区间为2kπ,π+2kπ,k∈Z，πππ∴由2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z，解得，-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，363πππ∴fx=cos2x+3的单调递减区间为-6+kπ,3+kπ,k∈Z，πππ∴当k=0时，fx=cos2x+3在区间-6,3上单调递减，-a≥-ππ6又∵fx=cos2x+在-a,a上单调递减，∴，3a≤π3ππ∴0<a≤，a的最大值为.6618(2023·天津和平·统考三模)已知函数fx=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)，(i)若ω=1，将函π数fx沿x轴向右平移φ0<φ<个单位后得到一个偶函数，则φ=；(ii)若fx在2π,π上单调递增，则ω的最大值为.2π1【答案】36【分析】(1)根据三角函数的图象变换求出解析式，再根据偶函数的定义求解；π(2)根据函数在,π上单调递增，结合函数的周期可得0<ω≤1，再根据单调递增列出不2等式即可求得ω的最大值.π【详解】fx=3sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+,6π(i)若ω=1,则fx=2sin2x+,6ππ向右平移φ0<φ<2个单位后所得函数为y=2sin2x-2φ+6，ππ因为平移得到一个偶函数，所以-2φ+=+kπ,k∈Z,62πkπ解得φ=--,k∈Z，62·28· ππ因为0<φ<，所以当k=-1时，φ=满足题意，23π(ii)若fx在,π上单调递增，22ππ则函数f(x)的最小正周期T=≥2π-,2ω2解得0<ω≤1，ππππ且ωπ+6,2ωπ+6⊆-2+2kπ,2+2kπ,k∈Z，ωπ+π≥-π+2kπ6221即,k∈Z，解得-+2k≤ω≤+k,k∈Z，2ωπ+π≤π+2kπ3662211又因为0<ω≤1，所以当k=0时，-≤ω≤，即0<ω≤，3661所以ω的最大值为.6π1故答案为:；.3619(2023·上海·高三专题练习)若函数y=f(x)的图像可由函数y=3sin2x-3cos2x的图像向π右平移φ(0<φ<π)个单位所得到，且函数y=f(x)在区间0,上是严格减函数，则φ=．22π2【答案】/π33【分析】利用三角恒等变换化简y=3sin2x-3cos2x，根据图象平移变换得到y=f(x)的表达式，结合函数的单调性确定φ(0<φ<π)，即可求得答案.π【详解】由题意得y=3sin2x-3cos2x=23sin2x-，6ππ则f(x)=23sin2(x-φ)-6=23sin2x-2φ-6，当x∈0,ππ∈-2φ-π,5π-2φ时，2x-2φ-，2666π函数y=f(x)在区间0,上是严格减函数，2ππ5π3πππ故+2kπ≤-2φ-<-2φ≤+2kπ,k∈Z，即φ≤--kπ且φ≥--kπ,k∈266233Z，π2π则φ=--kπ,k∈Z，而0<φ<π，故φ=，332π故答案为：3(五)与零点的综合π20(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=sinωx+ω>0的最小正周期为π，将fx4π的图象向右平移个单位长度得到函数gx的图象，若函数gx在-a,a上存在唯一极值点，则3实数a的取值范围是()·29· A.π,11πB.π,11ππ,11πD.π,11π24242424C.24242424【答案】D【分析】首先求函数fx的解析式，再根据平移公式，求解函数gx的解析式，结合函数的图象，列式求实数a的取值范围.2ππ【详解】由题意知fx的最小正周期T==π，∴ω=2，∴fx=sin2x+，ω4ππ5∴gx=sin2x-3+4=sin2x-12π，作出gx的图象如图所示，a>0a≤11ππ11数形结合可知24，解得：<a≤π2424-a<-π24π11π∴实数a的取值范围是24,24.故选：D321(2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模)将曲线f(x)=x+2sinx的图象向ππ右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与直线y=2x-有3个交点，则这3个交42点的横坐标之和为()π3π3πA.B.C.πD.242【答案】Bπππ【分析】由题意可知函数g(x)的图象关于点4,0对称，又直线y=2x-2过点4,0，由对称性可求这3个交点的横坐标之和.33【详解】因为f(-x)=-x+2sin-x=-x-2sinx=-fx，所以函数f(x)为奇函数.3π因为函数g(x)是由函数f(x)=x+2sinx向右平移个单得到，4π3ππ所以g(x)=x-4+2sinx-4，且函数g(x)的图象关于点4,0对称.·30· ππ3π又由直线y=2x-过点,0，由对称性可知这3个交点的横坐标之和为．244故选：B．π22(2023·北京朝阳·二模)将函数f(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到函数gx的图象，8若gx在区间0,m上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.3π【答案】(答案不唯一)8πππ【分析】由图象平移写出gx解析式，再由2x+∈,2m+，根据正弦函数图象及零444点个数求参数范围，即得结果.ππ【详解】由题设gx=fx+8=sin2x+4，πππ在x∈0,m，则2x+∈,2m+，要使gx在区间0,m上有且仅有一个零点，444π3π7π3π所以π≤2m+<2π，即≤m<，故m=满足要求.48883π故答案为：(答案不唯一)8π23(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知是函数fx=sinx+acosx的一个零点，将函数y3π=f2x的图象向右平移个单位长度后所得图象的表达式为()127ππA.y=2sin2x-6B.y=2sin2x+12C.y=-2cos2xD.y=2cos2x【答案】C【分析】先求得a，然后根据三角函数图象变换、诱导公式等知识求得正确答案.πππ13【详解】依题意，f=sin+acos=a+=0，解得a=-3，33322π所以fx=sinx-3cosx=2sinx-，3π所以f2x=2sin2x-，3ππππ将y=f2x向右平移12个单位长度得到y=2sin2x-12-3=2sin2x-2=·31· -2cos2x.故选：Cπ24(2023·全国·校联考三模)将函数fx=sin2x的图像先向右平移个单位长度，再把所得函82数图像的横坐标变为原来的ω>0倍，纵坐标不变，得到函数gx的图像，若函数gx在ωπ,π上没有零点，则ω的取值范围是.4【答案】0,154∪1,4【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即可.ππ【详解】将函数fx=sin2x的图像先向右平移个单位长度，得到函数y=sin2x-88π=sin2x-的图像，42再把所得函数图像的横坐标变为原来的ω>0倍，纵坐标不变，得到函数gx=ωωππsin2×2x-4=sinωx-4的图像，ππωππππ当x∈4,π时，ωx-4∈4-4,ωπ-4.由gx在4,π上没有零点，得ωπ-π≥kπ,44k∈Z，ωπ-π≤k+1π44k+1≤ω≤k+5,415即k∈Z，解得0<ω≤或1≤ω≤.4k+1≤k+5444故答案为：0,154∪1,4.425(2023·全国·高三专题练习)将函数fx=3sin2x-2图象所有点的纵坐标伸长到原来的3π倍，并沿x轴向左平移φ0<φ<个单位长度，再向上平移2个单位长度得到gx的图象．若2π2π3πgx的图象关于点6,-3对称，则函数gx在-4,4上零点的个数是()．A.1B.2C.3D.4【答案】B2【分析】根据函数图象变换规律可得gx=4sin2x+2φ-，然后根据三角函数的性质可3π得φ=，再利用正弦函数的图象和性质结合条件即得.344【详解】将fx图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到y=3sin2x-2=4sin2x338-的图象，3·32· π继续沿x轴向左平移φ0<φ<个单位长度，再向上平移2个单位长度得到gx=224sin2x+2φ-的图象，3π2π∵gx的图象关于点,-对称，得+2φ=kπ，k∈Z．633ππ2π2又∵0<φ<，∴φ=，∴gx=4sin2x+-．23332ππ3ππ13π令t=2x+，当-<x<时，有<t<，3446621π13π由4sint-=0，可得sint=，<t<，36661π13π结合函数y=sint的图象可得，sint=在<t<上只有2个解，666π3π即函数gx在-,上零点的个数是2．44故选：B.26(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=acosωxa≠0,ω>0，若将函数y=fx的图象π7π向左平移个单位长度后得到函数y=gx的图象，若关于x的方程gx=0在0,上有且仅6ω12有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是()A.10,24B.16,4C.10,4D.16,24777777【答案】B7ππ【分析】根据三角函数图象平移的原则得gx的表达式，根据x的范围得出ω+的范126围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果.π【详解】将函数fx=acosωxa≠0,ω>0向左平移个单位长度后得到函数y=gx，6ωππ即gx=acosωx+6ω=acosωx+6，∵x∈0,7ππ∈π,7πω+π，∴ωx+，12661267π∵gx=0在0,上有且仅有两个不相等的实根，127ππ3π5π16∴12ω+6∈2,2，解得7≤ω<4，16即实数ω的取值范围是7,4，·33· 故选：B.5π4ππ27(2023春·江西·高三校联考阶段练习)已知直线x=,x=是函数fx=4sinωx+636π(ω>0)图像相邻的两条对称轴，将fx的图像向右平移个单位长度后，得到函数gx的图像.6若gx在-m,m上恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为()A.7π,11π7π,13π5π,13π5π,11π1212B.1212C.1212D.1212【答案】A【分析】根据题意先求出ω=2，再结合图像得出关于m的不等式组，即可求得m的范围.4π5πTππ【详解】解：由题意得-=,即=，解得ω=2，3622ωπππ则fx=4sin2x+6，向右平移6个单位长度后，得到函数gx=4sin2x-6，又gx在-m,m上恰有三个不同的零点，ππ所以转化为hx=4sinx在x∈-2m-,2m-上有三个不同的零点，其中，m>0，66ππ则-2m-<-，66ππ要使hx=4sinx在x∈-2m-,2m-上有三个不同的零点，则66-2π≤-2m-π<-π-3π≤-2m-π<-2π667π11π或，解之得<m≤π<2m-π≤2π0<2m-π≤π121266故选：A.(六)综合应用πx28(2023·河南·校联考模拟预测)将y=cos的图象向右平移2个单位长度后得到函数y=4gx的图象，则不等式gx>log2x的解集是()A.-∞,2B.2,+∞C.0,2D.0,1【答案】Cπx【分析】根据函数图象的平移变换和诱导公式可得gx=sin，如图作出函数y=gx，y4=log2x的图象，结合图形即可求解.πx-2πx【详解】依题设可知gx=cos=sin，44在平面直角坐标系中，分别作出函数y=gx，y=log2x的图象，如图，·34· 由图可知，当0<x<2时，gx>log2x.故原不等式的解集为0,2.故选：C.1π29(2023·贵州遵义·校考模拟预测)已知函数fx=sinxcosx，gx=cos2x-，为了得26到函数fx的图象，可将函数gx的图象向左平移a个单位或向右平移b个单位，其中a,b>0，若a-b≥λ，则实数λ的取值范围为．2π【答案】-∞,3【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用正弦二倍角公式及三角函数的诱导公式，结合三角函数的平移变换即可求解.【详解】依题意，对于a,b>0，都有a-b≥λ，等价于a-bmin≥λ,a,b>0即可.111π1πfx=2×2sinxcosx=2sin2x，gx=2cos2x-6=2sin2x+3，因为sin2x+2kπ-π+π5π+π33=sin2x，且sin2x+2kπ+33=sin2x,k∈Z，1π5π2π2π所以a-bmin=23-3=3，即λ≤3，2π所以实数λ的取值范围为-∞,3.2π故答案为：-∞,3.30(2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)若函数f(x)=2sin2x的图像向右平移πθ0<θ<2个单位长度后得到函数g(x)的图像，若对满足fx1-gx2=4的x1，x2，有x1-x2π的最小值为，则θ=．6π【答案】3【分析】先求解gx的解析式，根据fx1-gx2=4可知一个取得最大值一个取得最小π值，结合三角函数的性质和x1-x2的最小值为，即可求解θ的值；6【详解】由函数fx=2sin2x的图像向右平移θ，可得gx=2sin2x-2θ由fx1-gx2=4可知一个取得最大值一个取得最小值，不妨设fx1取得最大值，gx2取得最小值，·35· π3π∴2x1=+2k1π，2x2-2θ=+2k2π，k1,k2∈Z．22可得2x1-x2+2θ=2k1-k2π-π，π所以x1-x2=k1-k2π--θ，2π∵x1-x2的最小值为，6πππ∴-θ=，得φ=，263π故答案为：.3ππ31(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=4sinωx+3sinωx-3，ω>0的最小正π周期为π，将其图象沿x轴向右平移mm>0个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的3最小值为()π3ππA.πB.C.D.344【答案】B【分析】由已知，先对函数fx进行化简，根据最小正周期为π，求解出ω，然后根据题意进行π平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线x=对称，建立等量关系即可求解3出实数m最小值.ππ【详解】fx=4sinωx+3sinωx-3=131342sinωx+2cosωx2sinωx-2cosωx123211-cos2ωx31+cos2ωx=42sinωx-2cosωx=44·2-4·2=-2cos2ωx-1由其最小正周期为π，有ω=1，所以fx=-2cos2x-1，将其图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位，所得图象对应函数为y=-2cos2x-m-1=-2cos2x-2m-1，π2π其图象关于x=对称，则有cos-2m=±1，332ππkπ所以-2m=kπ,k∈Z，m=-,k∈Z，332π由m>0，实数m的最小值为.3故选：B.π32【多选】(2023·全国·高三专题练习)将函数y=cosx-的图像上所有点的横坐标变为原6来的ωω>0倍，纵坐标不变，得到的函数图像恰与函数fx=sin2x+φ0<φ<π的图像重合，则()πA.ω=2B.φ=3·36· ππC.直线x=是曲线y=fx的对称轴D.点,0是曲线y=fx的对称中心63【答案】BD1π【分析】根据y=cosx-与fx=sin2x+φ0<φ<π相等列式计算求得ω、φ，进ω6而判断对称中心和对称轴．1π【详解】解：y横坐标变为原来的ω倍变为y=cosx-=sin2x+φ，ω61∴=2，ω1∴ω=，A错；2πππcos2x-6=sin2x+φ，cos2x+3-2=sin2x+φ，π∴sin2x+=sin2x+φ，3π则φ=，B对；3πfx=sin2x+，3πππ12×+=+kπ，k=∉Z，6326π∴x=不是fx的对称轴，C错；6ππ2×+=kπ，k=1∈Z，33π∴,0是fx的一个对称中心，D对．3故选：BD．π33(2023秋·河南三门峡·高三统考期末)已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<的最小2正周期为π，且满足fx+φ=fφ-x，则要得到函数fx的图象，可将函数gx=cosωx的图象()ππA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度33ππC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度66【答案】D【分析】依题意可得ω=2，且x=φ是f(x)的一条对称轴，即可求出φ的值，然后利用诱导公π式将fx的解析式化为与gx=cosωx同名同号的三角函数f(x)=cos2x-，再根据6三角函数图象的平移规则“左加右减”得到结论.2π【详解】解：由已知得ω==2，π由fx+φ=fφ-x可知直线x=φ是函数f(x)的一条对称轴，·37· πππ∴3φ=kπ+k∈Z，又∵0<φ<，∴φ=，226ππππ∴fx=sin2x+6=cos2x+6-2=cos2x-6，π所以要得到函数fx的图象，可将函数gx=cos2x的图象向右平移个单位长度得到，6故选：D.π34(2023·广西玉林·统考模拟预测)将函数fx=sin2x的图象向左平移个单位长度后得到4函数y=gx的图象，则下列关于gx说法正确的是()πA.奇函数B.在0,上单调递增43ππC.图象关于点,0对称D.图象关于直线x=对称82【答案】D【分析】先通过平移求出gx，然后利用余弦函数的性质逐一判断即可.π【详解】将函数fx=sin2x的图象向左平移个单位长度后得4ππ函数y=gx=sin2x+4=sin2x+2=cos2x，对于A：g-x=cos-2x=cos2x=gx，gx为偶函数，A错误；πππ对于B：当x∈0,4时，2x∈0,2，∵y=cosx在0,2上单调递减，∴y=gx在π0,上单调递减，B错误；23π3π23π对于C：g8=cos2×8=-2≠0，图象不关于点8,0对称，C错误；πππ对于D：g2=cos2×2=-1，图象关于直线x=2对称，D正确.故选：D.π35【多选】(2023·重庆·统考模拟预测)已知fx=2sin3x+，将函数fx的图象向右平移3π个单位得到函数gx的图象，则()6π2πA.gx在区间0,上是增函数B.gx的一条对称轴为x=392ππ8πC.gx的一个对称中心为9,0D.gx在区间-9,9上只有2个极值点【答案】BD【分析】先利用平移变换求出gx，再利用正弦函数的性质逐一判断即可.πππ【详解】将函数fx的图象向右平移6个单位得到函数gx=2sin3x-6+3=π2sin3x-，6·38· πππ5ππ5π对于A：当x∈0,3时，3x-6∈-6,6，∵y=sinx在-6,6上不是单调函数，π故gx在区间0,上不是单调函数，A错误；32π2ππ2π对于BC：∵g9=2sin3×9-6=2，∴x=9是gx的一条对称轴，B正确，C错误；π8πππ5ππ5π对于D：当x∈-9,9时，3x-6∈-2,2，∵y=sinx在-2,2上有两个极值π3ππ8π点,，故gx在区间-,上只有2个极值点，D正确.2299故选：BD.π36【多选】(2023·辽宁·校联考三模)已知函数fx=cos2x+φ-<φ<0图像的一条对2π称轴为x=，先将函数fx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的8π点向右平移个单位长度，得到函数gx的图像，则函数gx的图像在以下哪些区间上单调递减4()A.π,2π7π9π9πB.-2π,-πC.,D.-,-4π222【答案】ABD【分析】先根据对称轴求出解析式，再结合平移伸缩得出新的解析式，最后求出单调减区间判断即可.πππ【详解】依题意，2×+φ=kπk∈Z，则φ=-+kπk∈Z，因为-<φ<0，所以φ=842π-，4π故fx=cos2x-．将函数fx图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到y=42πcosx-的图像，34π2ππ再将所得图像上所有的点向右平移4个单位长度，得到gx=cos3x-4-4=25πcosx-的图像，31225π令2kπ≤x-≤π+2kπk∈Z，得函数gx的单调递减区间为3125π17π+3kπ,+3kπk∈Z.88故选:ABD．π37【多选】(2023·全国·高三专题练习)将函数y=sin2ωx(ω>0)向左平移个单位，得到函数6f(x)，下列关于f(x)的说法正确的是()πA.f(x)关于-,0对称6·39· 5πB.当ω=1时，f(x)关于x=-对称12πC.当0<ω≤1时，f(x)在0,上单调递增12D.若f(x)在-π,5π3上有三个零点，则ω的取值范围为1,662【答案】ABCπ5π【分析】f-6=0，故选项A正确；当ω=1时，f-12=-1，-1是函数的最小值，故选项πππB正确；0<2ωx+6≤2，所以f(x)在0,12上单调递增，故选项C正确；得0≤π32ωx+≤2ωπ，所以2π≤2ωπ<3π，所以1≤ω<，故选项D错误.62πππ【详解】f(x)=sin2ωx+6(ω>0)，当x=-6时，得2ωx+6=0，f(x)=0，故选项A正确；5π5ππ当ω=1时，f-12=sin2-12+6=-1，-1是函数的最小值，所以f(x)关于x=5π-对称，故选项B正确；12πωππωπππ当0<ω≤1时，0<x<12，得0<3<2ωx+6<2≤2，所以f(x)在0,12上单调递增，故选项C正确；π5πππ5π由-6≤x≤6，得0≤2ωx+6≤2ωπ，由于f(x)在-6,6上有三个零点，所以2π3≤2ωπ<3π，所以1≤ω<，故选项D错误.2故选：ABC．38【多选】(2023·山东泰安·统考二模)已知函数fx=sinωx+3cosωxω>0的零点依次构ππ成一个公差为的等差数列，把函数fx的图象向右平移个单位长度，得到函数gx的图象，则26函数gx()πA.是奇函数B.图象关于直线x=对称2C.在π,3ππ,2π上是减函数D.在上的值域为-3,24463【答案】ACDπ【分析】利用辅助角公式得出fx=2sinωx+，由已知条件求得ω的值，再利用函数图3象变换求得函数y=gx的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.π【详解】∵fx=sinωx+3cosωx=2sinωx+，3π由于函数y=fx的零点构成一个公差为的等差数列，则该函数的最小正周期为π，22ππ∵ω>0，则ω==2，所以fx=2sin2x+，π3·40· π将函数y=fx的图象沿x轴向右平移个单位，6ππ得到函数gx=2sin2x-6+3=2sin2x的图象.对于A选项，函数y=gx的定义域为R，g-x=2sin-2x=-2sin2x=-gx，函数y=gx为奇函数，A选项正确；ππ对于B选项，g=2sinπ=0，所以函数y=gx的图象不关于直线x=对称，B选项22错误；对于C选项，当x∈π,3ππ≤2x≤3π，则函数y=gxπ3π时，在,上是减函数，C442244选项正确；π2ππ4π3对于D选项，当≤x≤时，≤2x≤，则-≤sin2x≤1，∴-3≤gx≤2.63332π2π所以，函数y=gx在区间,上的值域为-3,2，D选项正确.63故选：ACD考点五根据函数图象确定函数解析式1(2023春·陕西西安·高三交大附中校考期中)若函数y=Asinωx+φ(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示.(1)写出函数的解析式；π(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数y=gx的图象，求函数y3π2π=gx在x∈,上的值域.1232π【答案】(1)fx=2sin2x+37ππ(2)fx的增区间为-+kπ,-+kπ，k∈Z，函数y=gx的值域为-3,21212【分析】(1)根据函数的图象可得A及周期T，即可求出ω，再利用待定系数法求出φ即可；(2)根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数y=gx的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.T5πππ【详解】(1)由图可知A=2,=--=，2121222π则T==π，所以ω=2，ω·41· 故fx=2sin2x+φ，πππ又f-12=2sin-6+φ=2，则sin-6+φ=1，ππ2π所以-+φ=+2kπ，即φ=+2kπ,k∈Z，6232π又0<φ<π，所以φ=，32π所以fx=2sin2x+；3π2ππ7ππ(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z，23212127ππ所以fx的增区间为-+kπ,-+kπ，k∈Z，1212π2π由题意gx=2sin2x-3+3=2sin2x，由x∈π,2ππ,4π3,1，得2x∈，则sin2x∈-，123632π2π所以函数y=gx在x∈,上的值域为-3,2.123π2(2023秋·全国·高三校联考开学考试)如图，函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<的图像2π过,0,2π,2两点，为得到函数gx=2cosωx-φ的图像，应将fx的图像()27π7πA.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度665π5πC.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度22【答案】D【分析】先根据周期求ω，再代入2π,2，解得φ，最后根据平移变换即可判断π2π2π11【详解】T=2π-2×4=6π∴ω=T=6π=3∴fx=2sin3x+φ2π2π代入2π,2得2sin3+φ=2即sin3+φ=12πππ+φ=+2kπ,k∈Z⇒φ=-+2kπ,k∈Z326ππ∵φ<∴k=0即φ=-261π∴fx=2sinx-36·42· 对于A选项，2sin1x-7π-π1x-7π-π1x-5π366=2sin3186=2sin39119ππ119π=2sin3x-18+2=2cos3x-18,故A错误对于B选项2sin1x+7π-π1x+7π-π1x+2π366=2sin3186=2sin3915ππ15π=2sin3x-18+2=2cos3x-18，故B错误对于C选项15ππ15ππ12sin3x-2-6=2sin3x-6-6=2sin3x-π1=-2sinx，故C错误3对于D选项，2sin1x+5π-π1x+5π-π1x+2π326=2sin366=2sin331ππ1π=2sin3x+6+2=2cos3x+6，故D正确故选：Dπ3(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=Asin(2x+φ)A>0,0<φ<部分图像如图所2示，则函数f(x)的图像可由y=Asin2x的图像向左平移个单位得到.π【答案】12π【分析】根据图像可确定f(x)=2sin2x+，进而根据平移即可求解.62π5π15ππ【详解】由图最高点可知A=2,周期T==π,所以可得最高点xA=-T=-2124124πππππ=6,故A6,2,将其代入f(x)=2sin2×6+φ=2⇒3+φ=2+2kπ，由于0<φ<ππ，故φ=，26ππ所以f(x)=2sin2x+，故可由y=Asin2x的图像向左平移个单位得到.612·43· π故答案为：12π4(2023·新疆乌鲁木齐·统考三模)已知函数fx=2cosωx+φω>0,φ<的部分图象如2ππ图所示，将函数fx图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数gx的图象，则g的值64为.【答案】-1【分析】先有图象结合三角函数的性质得出fx解析式，再根据图象变换得gx解析式，继而可得答案.2πππππ【详解】由图象可知fx的周期为ω=23-12⇒ω=4，代入12,2可得cos3+φπππ=1⇒φ=-+2kπ，又φ<⇒φ=-，323π故fx=2cos4x-，3ππππ左移6个单位长度得gx=2cos4x+6-3=2cos4x+3，ππ故g4=2cosπ+3=-1.故答案为：-15【多选】(2023·全国·模拟预测)已知函数f(x)=-3sinωx+cosωx+b(ω>0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()·44· A.ω=2，b=12π5πB.f(x)在区间,上单调递增365πC.函数f(x)的图象关于点-,0中心对称12πD.函数f(x)的图象可由y=2cosωx+b的图象向左平移个单位长度得到6【答案】ABDππ【分析】求出fx=2cosωx+3+b，利用-1≤cosωx+3≤1可判断A；根据余弦函5π数的图象与性质可判断B；由图可判断函数f(x)的图象关于点-,1中心对称可判断12C；根据三角函数图象平移规律可判断D．π【详解】fx=-3sinωx+cosωx+b=2cosωx++b，3对于选项A：由图可知，f(x)max=3，所以2+b=3，b=1，32ππ5π3π因为×=+=，所以ω=2，故选项A正确；4ω3124对于选项B：fxπ2π5ππ5π=2cos2x+3+1，当x∈3,6时，2x+3∈3,2π，根据余弦函数的图象与性质可知，选项B正确；5π对于选项C：由图易知，函数f(x)的图象关于点-,1中心对称，故选项C错误；12π对于选项D：将y=2cos2x+1的图象向左平移个单位长度后，6π得到fx=2cos2x++1的图象，故选项D正确．3故选：ABD.6(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的图象如图，则下列有关fx性质的描述正确的是()·45· 2πA.φ=32πB.x=+kπ,k∈Z为函数f(x)的对称轴3πC.fx向左移后的函数为偶函数12πkπ7πkπD.函数f(x)的单调递减区间为+,+,k∈Z122122【答案】C【分析】先根据图像，求出解析式，然后利用正弦函数的图像和性质可解.【详解】由图像可得：函数最小值为-1，所以A=1；T7ππ∵=-,∴T=π,根据周期公式，ω=2；4123∴fx=sin2x+φ7π7ππ又图像经过12，-1,即sin2×12+φ=-1，解得：φ=3+2kππ又0<φ<π，代入解得：φ=.3π∴fx=sin2x+3对照四个选项：A错误；πππkπ2π对于B：令2x+=+kπ，解得x=+≠+kπ，故B错误；321223πππ对于C:fx向左移12后得到：y=sin2x+12+3=cos2x，为偶函数，故C正确；ππ3ππ7π对于D:令+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得：+kπ≤x≤+kπ,即函数的单减区2321212π7π间为+kπ,+kπ,k∈Z，故D错误.1212故选：C【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解.(2)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于y=sinx或y=cosx的·46· 性质解题；(3)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．π7(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=3sinωx+φx∈R,ω>0,φ<的部分图象如图2所示，则下列说法正确的是()1πA.fx=3sinx-3123π3B.f=423π9πC.不等式fx≥的解集为6kπ+,6kπ+k∈Z244πD.将fx的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在6π,8π上单调递增12【答案】C【分析】由图象求出fx的表达式后逐一验证选项即可.11π5π2π1【详解】由函数图象可知，最小正周期为T=4-=6π，所以ω==，446π35π15π将点4,3代入fx=3sinωx+φ，得3=3sin3×4+φ，ππ1π又ϕ<，所以φ=，故fx=3sinx+，故A错误；2123123ππ33所以f=3sin=，故B错误；43231π1π1π5π令fx≥，则sinx+≥，所以2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2312263126π9π6kπ+≤x≤6kπ+，k∈Z，443π9π所以不等式fx≥的解集为6kπ+,6kπ+k∈Z，故C正确；2441ππ1π将fx=3sin3x+12的图象向右平移12个单位长度后，得到fx=3sin3x+18π1ππ的图象，令2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z，231825π4π解得6kπ-≤x≤6kπ+，k∈Z，3313π22π13π22π令k=1得≤x≤，因为6π,8π⊄,，故D错误.3333故选：C.π8(2023·全国·高三专题练习)函数fx=Asin2ωx+φA>0,ω>0，φ<的部分图象如2·47· 图所示.(1)求A，ω，φ的值；π(2)将函数fx的图象向右平移个单位长度，得到函数gx的图象，若α∈0,π，且gα=2，6求α的值.π【答案】(1)A=2，ω=1，φ=65π11π(2)或24245ππ【分析】(1)根据函数fx的部分图象即可求出A，ω，然后代入点,0，由ϕ<即可122求出φ的值；(2)根据三角函数的图象变换先求出函数gx的解析式，然后利用gα=2，结合α∈0,π即可确定α的值.35ππ2π【详解】(1)解：由图可知，A=2，T=+，所以T=π，即=π，所以ω=1.41232ω5π5π将点,0代入fx=2sin2x+φ得+φ=2kπ+π，k∈Z，126ππ又ϕ<，所以φ=；26π(2)解：由(1)知fx=2sin2x+，6πππ由题意有gx=2sin2x-6+6=2sin2x-6，ππ2所以gα=2sin2α-6=2，即sin2α-6=2，ππ11π因为α∈0,π，所以2α-∈-,，666ππ3π5π11π所以2α-=或，即α=或α=，64424245π11π所以α的值为或.24249(2023·全国·高三专题练习)函数fx=Asinωx+φ，(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与fx的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是()·48· 10A.函数fx的最小正周期是π97ππB.函数fx在-,-上单调递减123ππC.函数fx的图象向左平移个单位后关于直线x=对称1245π3ππD.若圆C的半径为，则函数fx的解析式为fx=sin2x+1263【答案】D【分析】根据函数的图象，求得fx的最小正周期，可判定A错误；利用五点作图法，求得φπ=，结合三角函数的性质，可判定B错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解3222析式为gx=Acos2x，进而判定C错误；利用CM=OM+OC，求得A的值，可判定D正确.π【详解】解：由函数fx图象，可得点C的横坐标为，3ππ所以函数fx的最小正周期为T=23--6=π，所以A不正确；2ππππ又由ω=T=2，且f-6=0，即sin2×-6+φ=sin-3+φ=0，ππ根据五点作图法且0<φ<π，可得-+φ=0，解得φ=，337πππ5ππ因为x∈-12,-3，可得2x+3∈-6,-3，7ππ结合三角函数的性质，可得函数fx在-,-是先减后增的函数，所以B错误；123ππ将函数fx的图象向左平移个单位后，得到gx=Asin2x+=Acos2x，122kπ可得对称轴的方程为2x=kπ,k∈Z，即x=,k∈Z，2π所以x=不是函数gx的对称轴，所以C错误；4π33当x=0时，可得f0=Asin=A，即OM=A,3225π2225π232π2若圆的半径为12，则满足CM=OM+OC，即12=2A+3，3π3ππ解得A=，所以fx的解析式为fx=sin2x+，所以D正确.663·49· 故选：D.考点六根据函数性质确定函数解析式1(2023·全国·高三专题练习)写出一个满足以下三个条件的函数：fx=．①定义域为R；②fx不是周期函数；③fx是周期为2π的函数．【答案】x+sinx(答案不唯一)【分析】由fx的周期为2π，结合正余弦函数的性质确定fx的解析式形式，即可得符合要求的函数式.【详解】fx的解析式形式：ax±bsinx+φab≠0或ax±bcosx+φab≠0均可．如：f(x)=x+sinx定义域为R，不是周期函数，且f(x)=1+cosx是周期为2π的函数.故答案为：x+sinx(答案不唯一)2(2023春·江西南昌·高三校考阶段练习)设函数fx=cos2ωx+θ(ω>0,0<θ<π)，将函数πfx的图象向左平移单位长度后得到函数gx的图象，已知gx的最小正周期为π，且gx为12奇函数.(1)求fx的解析式；2π2(2)令函数hx=2gx+3cos2x+m-3对任意实数x∈-,π，恒有hx≥0，求实数m的63取值范围.π【答案】(1)f(x)=cos2x+3(2)5，+∞【分析】(1)根据函数图象平移变换以及最小正周期为π，可得ω=1，利用平移后的函数gxπ为奇函数可得θ=；32(2)将g(x)=-sin2x代入化简可得h(x)=-3sin2x-2sin2x+m，再利用换元法根据x∈π2-,π由二次函数单调性即可求得实数m的取值范围.63π【详解】(1)由题可知，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．12πωπ则g(x)=cos2ωx+12+θ=cos2ωx+6+θ，2π由g(x)的最小正周期为π，得=π,ω=12ωωππππ由g(x)为奇函数可得+θ=+kπ，即θ=+kπ，因为0<θ<π，所以θ=．6233π所以f(x)=cos2x+．3(2)由(1)得g(x)=-sin2x，22所以h(x)=2g(x)+sinx+m-3=-2sin2x+3cos2x+m-3=-3sin2x-2sin2x+m，2π2根据h(x)≥0恒成立，可得m≥3sin2x+2sin2x对任意实数x∈-,π恒成立；63·50· 2121令t=sin2x,r(t)=3t+2t=3t+-，33因为x∈-π,2ππ,4π3,1，所以2x∈-，根据正弦函数单调性可得sin2x∈-，即633323t∈-,1，21再根据二次函数单调性可得r(t)∈-,53因此m≥5．即实数m的取值范围为5，+∞π3π3(2023·浙江温州·统考三模)已知函数f(x)=sinωx-4在区间0,2上恰有3个零点，其中ω为正整数.(1)求函数fx的解析式；πgx(2)将函数fx的图象向左平移个单位得到函数gx的图象，求函数Fx=的单调区间.4fxπ【答案】(1)f(x)=sin2x-；4kπ3πkππ(2)-,+(k∈Z).2828π【分析】(1)根据给定条件，求出ωx-的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式求4解作答.(2)由(1)求出函数gx的解析式，进而求出Fx，再利用正切函数的单调性求解作答.【详解】(1)由x∈0,3ππ∈-π,3πω-π，得ωx-，24424π3π因为函数f(x)=sinωx-4在区间0,2上恰有3个零点，3πωπ313于是2π≤-<3π，解得≤ω<，而ω为正整数，因此ω=2，2426π所以f(x)=sin2x-.4ππππ(2)由(1)知，g(x)=fx+4=sin2x+4-4=sin2x+4，πkππ由f(x)≠0，得2x-≠kπ,k∈Z，即有x≠+,k∈Z，428sin2x+πsin2x+πg(x)44π因此F(x)==ππ=π=-tan2x+，f(x)sin2x+--cos2x+4424πππkπ3πkππ由kπ-<2x+<kπ+,k∈Z，解得-<x<+,k∈Z，2422828g(x)kπ3πkππ所以函数F(x)=的单调减区间为-,+(k∈Z).f(x)28284(2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)·51· ππω>0,-<φ<的两个相邻零点之间的距离为π．已知下列条件：①函数fx的图像关于直22ππ线x=-对称；②函数fx+为奇函数．请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答．36(1)求函数fx的解析式；1π(2)将函数fx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，212得到函数gxπ3的图像．若当x∈,m时，gx的值域为-,1，求实数m的取值范围．22π【答案】(1)f(x)=2cosx+311π4π(2),123π【分析】(1)由函数f(x)的两个相邻零点之间的距离为π，得出ω=1，选条件①：得出-+3ππππφ=kπ，结合-2<φ<2即可求出φ的值；选条件②：得出f6=0，即6,0是fx的ππππ一个对称中心，得出+φ=+kπ，结合-<φ<即可求出φ的值；6222(2)由条件得出gx解析式，根据x的范围和gx的值域，即可求出实数m的取值范围．【详解】(1)因为函数f(x)的两个相邻零点之间的距离为π，所以f(x)的周期T=2π，2π由T==2π，得ω=1，ωππ选①：由-+φ=kπ，解得：φ=+kπk∈Z，33πππ因为-<φ<，所以φ=，223π故fx=2cosx+．3ππ选②：因为fx+6是奇函数，即f0+6=0，π所以,0是fx的一个对称中心，6πππ由+φ=+kπ，解得：φ=+kπk∈Z，623πππ因为-<φ<，所以φ=，223π故fx=2cosx+．3π(2)根据题意得，gx=2cos2x+，6当x∈π,mπ∈7π,2m+π时，2x+26663π17π因为gx的值域为-,1，则2π≤2m+≤，26611π4π解得：≤m≤，123·52· 11π4π故实数m的取值范围是,．123π2ωxπ5(2023春·江苏苏州·高三统考期中)已知函数fx=3sinωx+6+2cos2+12-1,π(ω>0)图象的相邻两对称轴间的距离为.2(1)求fx的解析式；π1(2)将函数fx的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的(纵62坐标不变)，得到函数y=gx的图象，求gx的单调递减区间.π【答案】(1)fx=2sin2x+3πkπ5πkπ(2)-+,+，k∈Z242242【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求解；2π(2)根据函数图象的平移和变换公式得到gx=2sin4x+，再利用正弦函数的图象及3性质求解即可.π2ωxπ【详解】(1)由fx=3sinωx+6+2cos2+12-1,(ω>0)，πππππ整理得：fx=3sinωx+6+cosωx+6=2sinωx+6+6=2sinωx+3，π由于相邻两对称轴间的距离为，2故函数的最小正周期为π，故ω=2．π所以fx=2sin2x+；3π(2)由题意，将函数fx的图象向左平移个单位长度，6ππ2π可得y=2sin2x+6+3=2sin2x+3的图象，1再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，22π得到函数gx=2sin4x+，3π2π3π令+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，232πkπ5πkπ即-+≤x≤+，k∈Z，242242πkπ5πkπ所以gx的单调递减区间为-+,+，k∈Z.2422426(2023春·四川南充·高三四川省南充市第九中学校考阶段练习)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ππω>0,|φ|<的两个相邻零点之间的距离为，且(在下面两个条件中任选择其中一个，完成下22ππ面两个问题).条件①：f(x)的关于x=对称；条件②：函数fx-为奇函数.612·53· (1)求f(x)的解析式；π(2)将f(x)的图象向右平移个单位，然后再将横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)，得到函数4πg(x)的图象，若当x∈,m时，g(x)的值域为[-1,2]，求实数m的取值范围.6π【答案】(1)条件选择见解析，f(x)=2sin2x+65π3π(2),62π【分析】(1)根据零点可得周期进而得ω=2，根据函数的对称性可解ϕ=，进而可得f(x)，6π(2)根据函数图象的变换可得g(x)=2sinx-，进而结合正弦函数的性质即可求解.3π【详解】(1)因为函数f(x)的两个相邻零点之间的距离为，22π所以f(x)的周期T=π，由T==π，得ω=2，ωπππ选①：由+φ=kπ+,k∈Z，解得：φ=+kπ(k∈Z)，326ππππ因为-<φ<，所以ϕ=，故f(x)=2sin2x+.2266ππ选②：因为fx-12是奇函数，即f0-12=0，π所以-,0是f(x)的一个对称中心，12ππ由-+φ=kπ，解得：φ=+kπ,(k∈Z)，66ππππ因为-<φ<，所以φ=，故f(x)=2sin2x+.2266π(2)根据题意得，g(x)=2sinx-，3当x∈π,mπ∈-π,m-π时，x-6363ππ7π因为g(x)的值域为[-1,2]，则≤m-≤，2365π3π5π3π解得：≤m≤，故实数m的取值范围是,.6262考点七函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质综合应用1【多选】(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=sin3x+3cos3x，则下列结论正确的是()πA.fx的图象可由函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到9πB.fx的图象可由函数y=2cos3x的图象向右平移个单位长度得到6πC.fx的图象关于直线x=对称18πD.fx和图象关于点,0中心对称9·54· 【答案】ACππ【分析】根据辅助角公式化简fx=sin3x+3cos3x=2sin3x+3=2cos3x-6，即可根据图象平移变换的性质判断AB，代入验证的方式即可判断CD.ππ【详解】fx=sin3x+3cos3x=2sin3x+3=2cos3x-6.πA，B选项：将函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到9πππy=2sin3x+9=2sin3x+3,即fx的图象，将y=2cos3x的图象向右平移6个单ππ位长度得到y=2cos3x-6=2cos3x-2=2sin3x，不是fx的图象，所以A正确，B错误；ππππC选项：因为f18=2sin3×18+3=2，所以函数fx的图象关于直线x=18对称，所以C正确；π2πD选项：因为f=2sin=3≠0，93π所以函数fx的图象不关于点,0中心对称，所以D错误.9故选:ACππ2(2023·全国·高三专题练习)已知fx=sinx+2，gx=cosx-2，则下列结论中正确的是()A.函数y=fx⋅gx的周期为2B.函数y=fx⋅gx的最大值为1πC.将fx的图象向左平移个单位后得到gx的图象2πD.将fx的图象向右平移个单位后得到gx的图象2【答案】D【分析】先将函数fx，gx根据诱导公式进行化简，再求出fxgx的解析式，进而得到fxgx的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．ππ【详解】∵fx=sinx+2，gx=cosx-2，∴fx=cosx，gx=sinx12π1∴fxgx=sinxcosx=sin2x，T==π，fxgxmax=，故AB错误；222ππ将fx的图象向左平移个单位后得到y=cosx+=-sinx≠gx，故C错误；22ππ将fx的图象向右平移个单位后得到y=cosx-=sinx=gx，故D正确.22故选：D．3【多选】(2023·全国·高三专题练习)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω，φ是常数，ω>0，0<φ<·55· ππ5ππ5π11π2)，若f(x)在区间-24,24上具有单调性，且f-24=-f24=-f24，则下列说法正确的是()A.f(x)的周期为πππB.f(x)的单调递减区间为-+kπ,+kπ(k∈Z)63πkπC.f(x)的对称轴为x=+(k∈Z)1225πD.f(x)的图象可由g(x)=sinωx的图象向左平移个单位得到12【答案】ABD【分析】由单调性和函数值分析周期，得出相邻的对称轴和对称中心，求得周期后得ω，然后由得φ值，最后利用余弦函数性质确定减区间，对称轴，并利用图象变换判断各选项．π5πT5ππ【详解】由f(x)在区间-24,24上具有单调性知，f(x)的周期T满足2≥24--24，π11π5πππ5π11π5π所以T≥2，又因为24-24=4<2，所以f24，f24在同一个周期内且f2411πππ5π=f24，故f(x)的一条对称轴为x=3，又由f-24=-f24知f(x)的一个对称中心πTππ为,0，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以=-，得T=π，即ω=2，124312A正确．πππ又因为f(x)的一个对称中心为12,0，所以cos6+φ=0，φ=3+2kπ(k∈Z)，由0<πππφ<知，φ=，故f(x)=cos2x+.233πππ2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，B正确；363πkππ2x+=kπ，x=-，k∈Z，C错误；3265π5π5πg(x)=sin2x的图象向左平移12个单位得h(x)=sin2x+12=sin2x+6=πππsin2x+3+2=cos2x+3，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查由三角函数性质求函数解析式，并确定函数的其他性质，考查图象平移变换．解题关键是掌握正(余)弦函数图象的“五点法”，通过五点确定周期，单调性，最值，对称性等等，从而可求得函数解析式．在求函数性质时，利用整体思想求解，把ωx+φ作为一个整体，掌握正弦函数(余弦函数)性质即可很方便地解题．14(2023·全国·高三专题练习)设函数fx=sinωx+φ-(ω>0)，若对于任意实数φ，函数2fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是()A.1,4B.4,5C.5,2D.2,733333·56· 【答案】C1【分析】根据φ为任意实数，转化为研究函数y=sinωx-在任意一个长度为2π-0=2π21的区间上的零点问题，求出函数y=sinωx-在y轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相210π4π邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之3ωω间的最大距离不大于2π，相邻五个零点之间的距离大于2π，列式可求出结果.【详解】因为φ为任意实数，故函数f(x)的图象可以任意平移，从而研究函数fx在区间10,2π上的零点问题，即研究函数y=sinωx-在任意一个长度为2π-0=2π的区间上2的零点问题，11π令y=sinωx-=0，得sinωx=，则它在y轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，226ω5π13π17π25π，，，，⋯，6ω6ω6ω6ω2π4π2π4π则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，⋯，3ω3ω3ω3ω10π4π故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，3ωω所以要使函数fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于2π，相邻五个零点之间的距离大于2π，10π≤2π3ω5即，解得≤ω<2.4π>2π3ω故选：C【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的φ以及区间0,2π是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.x+lnx,x>05(2023·全国·高三专题练习)设函数f(x)=有5个不同的零点，则sinωx+π4,-π≤x≤0正实数ω的取值范围为()A.13,17B.13,17C.13,1713,17444444D.44【答案】A【分析】分段函数分段处理，显然x>0有1个零点，所以-π≤x≤0有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证-π≤x≤0之间有4个零点即可.11【详解】由题，当x>0时，fx=x+lnx，显然单调递增，且f=-ln10<0，f2=10102+ln2>0，所有此时fx有且只有一个零点，ππ所有当-π≤x≤0时，fx=sinωx+有4个零点，令fx=0，即ωx+=kπ,k∈44·57· -π+kπ4Z，解得x=,k∈Z，ω由题可得-π≤x≤0区间内的4个零点分别是k=0,-1,-2,-3，所以-π即在k=-3与k=-4之间，-π-3π4≥-πω1317即π，解得≤ω<--4π444<-πω故选：A2ωx6(2023·陕西咸阳·校考三模)已知函数fx=sinωx+23cos-3ω>0，且f(x)图2ππ象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象，且23π2当x∈0,时，不等式2m-m≥gx恒成立，则m的取值范围为()411A.-∞,-1∪2,+∞B.-∞,-2∪1,+∞1-171+171C.-∞,4∪4,+∞D.-∞,0∪2,+∞【答案】Bπ【分析】先求得f(x)的解析式，再得到g(x)的解析式，并求得g(x)在0,上的最小值，进而4构造关于m的不等式，解之即可求得m的取值范围.2ωx【详解】fx=sinωx+23cos-32π=sinωx+3cosωx=2sinωx+3π又f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为，则f(x)的周期为π，22ππ则ω==2，则f(x)=2sin2x+π3ππ将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象，则g(x)=2sin2x-33当x∈0,ππ∈-π,ππ∈-3,14时，2x-336，2sin2x-3π2当x∈0,时，不等式2m-m≥gx恒成立，421则2m-m≥1恒成立，解之得m∈-∞,-2∪1,+∞故选：B考点八三角函数模型1【多选】(2023春·重庆·高三重庆市万州第二高级中学统考阶段练习)2023年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两·58· 者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数fx=*πAsinωx+φA,ω∈N,φ<的图像，而破碎的涌潮的图像近似fx(fx是函数fx的导函3数)的图像．已知当x=2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则()πA.ω=2B.f=6+23ππC.fx-4是偶函数D.fx在区间-3,0上单调【答案】BC*π【分析】由fx，求得fx，由题意得f(2π)=f(2π)，由ω∈N，φ<，解出φ,ω，由破碎3的涌潮的波谷为-4，解得A，得到fx和fx解析式，逐个判断选项.【详解】fx=Asinωx+φ，则fx=Aωcosωx+φ，由题意得f(2π)=f(2π)，即*ππAsinφ=Aωcosφ，故tanφ=ω，因为ω∈N，φ<，所以tanφ=ω<3，所以φ=,ω=341，则选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为-4，所以f(x)的最小值为-4，即-Aω=-4，得A=4，所以fxππππππππ=4sinx+4，则f3=4sin3+4=4sin3cos4+cos3sin4=321242×2+2×2=6+2，故选项B正确；πππ因为fx=4sinx+4，所以fx=4cosx+4，所以fx-4=4cosx为偶函数，则选项C正确；πππππfx=4cosx+，由-<x<0，得-<x+<，因为函数y=4cosx在431244πππ-12,0上单调递增，在0,4上单调递减，所以f(x)在区间-3,0上不单调，则选项D错误.故选：BC2(2023·全国·高三专题练习)2019年长春市新地标--“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t(min)时P距离地面的高度ft=Asinωt+φ+hω>0,φ<π，当距离地面的高度在60+203m以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为()A.2.0minB.2.5minC.2.8minD.3.0min·59· 【答案】B2ππ【分析】根据条件得出ft=40sint-+60，然后解不等式ft≥60+203即可.152【详解】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，80100+202π2π∴A==40,h==60；运动一周15分钟，即=15,∴ω=；22ω15π2ππ由f0=20，可得φ=-，故ft=40sint-+60.21523525要看到全景需ft≥60+203，解之得：≥t≥，故时间长为2.5min.44故选：B3【多选】(2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测)如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系ππ为d=Asinωt+φ+KA>0,ω>0,-<φ<，t∈0,60，下列说法正确的是()22πA.K=2.2B.ω=302.2C.sinφ=D.P离水面的距离不小于3.7m的时长为20s3【答案】ABD【分析】由题意，d的最大值为5.2，最小值为-0.8，即可求出A,K，再根据函数的周期即可求出ω，根据t=0时，d=0，利用待定系数法即可求出sinφ，解正弦不等式即可判断D.【详解】由题意，d的最大值为5.2，最小值为-0.8，则A+K=5.2,-A+K=-0.8，所以A=3,K=2.2，故A正确；2ππ由旋转一周需要60s，得函数的周期T==60，所以ω=，故B正确；ω30πππ故d=3sin30t+φ+2.2-2<φ<2，当t=0时，d=0，2.2则3sinφ+2.2=0，所以sinφ=-，故C错误；32.2πππ由sinφ=-,-<φ<，得-<φ<0，3222·60· π因为t∈0,60，所以t+φ∈φ,2π+φ，30π3π由-<φ<0，得<2π+φ<2π，22ππ1令d=3sin30t+φ+2.2≥3.7，得sin30t+φ≥2，ππ5π3030所以≤t+φ≤，故5-φ≤t≤25-φ，6306ππ3030所以P离水面的距离不小于3.7m的时长为25-φ-5-φ=20s，故D正确.ππ故选：ABD.4(2023秋·广东揭阳·高三统考期末)如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单π位：V)和时间t(单位：s)满足U=311sinωt+φω>0,φ<.在一个周期内，电压的绝对值超2311过的时间为.(答案用分数表示).21【答案】s75311【分析】由图象求出函数解析式，然后求得U=±的解，结合图象可得．22π【详解】由已知T=0.02，ω==100π，φ=0，0.02U=311sin(100πt).311π5π在区间0,0.02内，令311sin(100πt)=，100πt=或100πt=，266151可得t1=，t2==；600600120311711同理令311sin(100πt)=-，可得t3=，t4=.2600600311111综上，电压的绝对值超过的时间为2×-=(s).2120600751故答案为：s．755(2023·湖北·模拟预测)现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x，y的单位：m).该游客根据观察发现整个运动过11程中，相位的变化量为π，则ω约为()4·61· A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85【答案】A【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，即可计算出ω的值.【详解】由旋转楼梯高为15.6m知，投影到轴截面上后，对应曲线y=Asinωx+φA>0,ω>0中，游客移动的水平距离是15.6，∵初始时游客在最底端，∴当x=0时，初相为φ，11∵整个运动过程中，相位的变化量为π，且最后游客在最高点，4∴最后的位置15.6ω+φ，11∴15.6ω+φ-φ=π，4解得：ω≈0.55，故选：A.·62·