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2023版高考数学一轮复习课后限时集训29函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含解析20230318192
2023版高考数学一轮复习课后限时集训29函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含解析20230318192
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课后限时集训(二十九) 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用建议用时:40分钟一、选择题1.函数y=sin在区间上的简图是( )A BC DA [令x=0,得y=sin=-,排除B、D.由f=0,f=0,排除C,故选A.]2.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是( )A.-B.C.1D.D [由题意可知该函数的周期为,∴=,ω=2,f(x)=tan2x.∴f=tan=.]3.(2020·张家口模拟)要得到函数f(x)=cos的图象,可将函数g(x)=sinx的图象( )A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度\nC.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度B [f(x)=cos=sin=sin=sin,因此只需将函数g(x)=sinx的图象向左平移个单位长度即可,故选B.]4.(2020·南昌模拟)已知函数f(x)=asinωx+acosωx(a>0,ω>0)的部分图象如图所示,则实数a,ω的值分别为( )A.a=2,ω=2B.a=2,ω=1C.a=2,ω=D.a=2,ω=C [由f(0)=2得a=2,则f(x)=2sinωx+2cosωx=2sin.由f(0)=f及结合图形知,函数f(x)在x=处取得最大值,∴ω+=2kπ+,k∈Z,即ω=12k+,k∈Z.∵>,即>,∴0<ω<3,∴ω=,故选C.]5.(多选)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则( )A.该函数的解析式为y=2sinB.该函数的对称中心为,k∈Z\nC.该函数的单调递增区间是,k∈ZD.把函数y=2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象ACD [根据图象看出:A=2,=3π,∴ω=,∴×+φ=,∴φ=,∴该函数的解析式为y=2sin,∴选项A正确;∵k=0时,kπ-=-,2sin=2sin≠0,∴选项B错误;解-+2kπ≤x+≤+2kπ得,3kπ-≤x≤3kπ+,k∈Z,∴该函数的单调递增区间是,k∈Z,∴选项C正确;将函数y=2sin的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到y=2sin,∴选项D正确.故选ACD.]6.(多选)将函数f(x)=sin3x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则( )A.g(x)在上的最小值为0B.g(x)在上的最小值为-1C.g(x)在上的最大值为0D.g(x)在上的最大值为1BD [将函数f(x)=sin3x的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)=sin=-cos3x的图象,\n当x∈时,3x∈,cos3x∈[-1,1],-cos3x∈[-1,1],故g(x)的最大值为1,最小值为-1,故选BD.]二、填空题7.(2020·无锡模拟)若函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则φ=________. [把函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,得到y=cos(2x-π+φ)的图象.由题意知cos(2x-π+φ)=sin,即sin=sin,由0<φ<π知φ-=-,即φ=.]8.函数f(x)=sinx+cosx的图象向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数为偶函数,则t的最小值为________. [函数f(x)=sinx+cosx=sin,其图象向右平移t(t>0)个单位长度后所得函数y=sin为偶函数,则-t+=+kπ(k∈Z),即t=--kπ(k∈Z),又t>0,∴当k=-1时,tmin=.]9.(2020·山东烟台调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,与y轴的交点坐标是(0,1).若f(x)的最小正周期是π,则f(x)=________;若f(x)的图象关于点对称,且在区间上单调递减,则ω的最大值是________.2sin 11 [由于函数f(x)的图象经过点(0,1),所以2sinφ=1,sinφ=,由图象及|φ|<π可知φ=,于是f(x)=2sin,又f(x)的最小正周期是π,所以ω==2,故f(x)=2sin.由f(x)的图象关于点对称,得-ω+=nπ,n∈Z,即ω=-6n\n+5,n∈Z,令+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z,所以f(x)在(k∈Z)上单调递减,又f(x)在区间上单调递减,所以(k∈Z),即(k∈Z),即6k-1≤ω≤+(k∈Z),由0<6k-1≤+,得<k≤2,当k=1时,5≤ω≤,当k=2时,ω=11,又ω=-6n+5,n∈Z,所以ω=5或ω=11,所以ω的最大值是11.]三、解答题10.设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.[解] (1)因为T==π,所以ω=2,又因为f=cos=cos=-sinφ=,且-<φ<0,所以φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos.列表:2x--0πx0πf(x)10-10描点,连线,可得函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.\n11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.[解] (1)由图象可知,A=2.因为=(T为最小正周期),所以T=π.由π=,解得ω=2.又函数f(x)的图象经过点,所以2sin=2,解得φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<,所以φ=.所以f(x)=2sin.(2)因为x∈[0,m],所以2x+∈.当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递增;所以此时f(x)≥f(0)=1,符合题意;当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递减,所以f(x)≥f=1,符合题意;当2x+∈时,即x∈时,f(x)单调递减,所以f(x)<f=1,不符合题意.综上,若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,则必有0<m≤,所以m的最大值是.\n1.(多选)已知函数f(x)=cos2(ω>0)的最小正周期为,将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则下列结论中正确的是( )A.g(x)为奇函数B.g(x)的图象关于点对称C.g(x)的图象关于直线x=-对称D.g(x)在上的最大值是BC [f(x)=cos2=+cos,依题意有=,所以ω=2,因此f(x)=cos+.将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象,所以g(x)=cos+=-sin4x+.易知g(x)不是奇函数,故A错误;令4x=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),当k=2时,x=,又g=,所以g(x)的图象关于点对称,故B正确;令4x=+kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),当k=-2时,x=-,所以g(x)的图象关于直线x=-对称,故C正确;当x∈时,4x∈,因此sin4x∈,g(x)∈,所以g(x)在上的最大值为,故D错误.]2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ).则下列叙述错误的是( )A.R=6,ω=,φ=-B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)递减D.当t=20时,|PA|=6\nC [由题意,R==6,T=60=,所以ω=,t=0时,点A(3,-3)代入可得-3=6sinφ,因为|φ|<,所以φ=-,故A正确;f(t)=6sin,当t∈[35,55]时,t-∈,所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;当t∈[10,25]时,t-∈,函数y=f(t)先增后减,C不正确;当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|==6,D正确.故选C.]3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并写出其图象的对称中心;(2)若方程f(x)+2cos=a有实数解,求a的取值范围.[解] (1)由图可得A=2,=-=,所以T=π,所以ω=2.当x=时,f(x)=2,可得2sin=2,因为|φ|<,所以φ=.所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z).(2)设g(x)=f(x)+2cos,则g(x)=2sin+2cos=2sin+2,令t=sin,t∈[-1,1],\n记h(t)=-4t2+2t+2=-42+,因为t∈[-1,1],所以h(t)∈,即g(x)∈,故a∈.故a的取值范围为.1.一半径为4m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点P从水中浮现时开始计时,即从图中点P0开始计算时间.(1)当t=5s时点P离水面的高度________m;(2)将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数,则此函数表达式为________.(1)2+2 (2)h(t)=4sin+2(t≥0) [(1)t=5s时,水轮转过角度为×5=,即点P转到点A处,过点P0,A分别作x轴的垂线,垂足分别为M,N.在Rt△MOP0中,MP0=2,∴∠MOP0=.在Rt△AON中,∠AON=,∴AN=4×sin=2,此时点A(P)离开水面的高度为(2+2)m.(2)由题意可知,ω==,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角,由条件得h(t)=4sin+2.\n将t=0,h(0)=0代入,得4sinφ+2=0,∴φ=-,∴所求函数的解析式为h(t)=4sin+2(t≥0).]2.[结构不良试题](2020·北京高三一模)已知函数f(x)=asin-2cos2(a>0),且满足________.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点间的距离等于π,③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.[解] (1)f(x)=asin-2cos2=asin-cos-1=asin-cos-1=asin+sin-1=(a+1)sin-1.若选①,解答过程如下:因为f(x)的最大值为1,所以a+1=2,解得a=1.所以f(x)=2sin-1,函数f(x)的最小正周期T==π.若选②,解答过程如下:因为f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点间的距离等于π,且函数f(x)的最小正周期T==π,所以-3是函数f(x)的最小值.因为a>0,所以a+1>0,所以f(x)的最小值为-(a+1)-1=-3,解得a=1.所以f(x)=2sin-1.若选③,解答过程如下:\n由f=0,得(a+1)sin-1=(a+1)sin-1=0,即-1=0,解得a=1.所以f(x)=2sin-1,函数f(x)的最小正周期为T==π.(2)令f(x)=1,结合(1)得sin=1,解得2x-=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z.若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同的解,则x=或x=.所以实数m的取值范围是.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:22:05
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文章作者:U-336598
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