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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(含解析)北师大版
【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固 第4章 第5节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(含解析)北师大版
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【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第4章第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用北师大版一、选择题1.函数y=cos(2x-)的部分图像可能是( )[答案] D[解析] ∵y=cos(2x-),∴当2x-=0,即x=时,函数取得最大值1,结合图像看,可使函数在x=时取得最大值的只有D.2.函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是( )A.π,1 B.π,2C.2π,1 D.2π,2[答案] A[解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质.f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+),周期T=π,振幅为1,故选A.3.(2022·浙江高考)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=sin3x的图像( )A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位[答案] D[解析] 本题考查三角函数图像变换.y=sin3x+cos3x=sin(3x+),只需将函数y=sin3x的图像向左平移个单位,选D.-10-\n4.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则( )A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-C.ω=2,φ=D.ω=2,φ=-[答案] D[解析] 由图可知=π-=,T=π,即=π,∴ω=2,又因为图像向右平移了-=,∴φ=-.(或利用+φ=解也可)5.已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图像与直线y=2的交点的横坐标为x1、x2,若|x1-x2|的最小值为π,则( )A.ω=2,θ= B.ω=,θ=C.ω=,θ= D.ω=2,θ=[答案] A[解析] y=2sin(ωx+θ)为偶函数且0<θ<π,所以θ=,y=2cosωx,∴y∈[-2,2].又∵|x1-x2|min=π,故y=2与y=2cosωx的交点为最高点,于是最小正周期为π.即=π,所以ω=2.故选A.6.(文)如图,在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(m/s)和时间t(s)的函数关系为s=6sin,单摆摆动时,从最右边到最左边的距离为( )A.6 B.3C.3 D.6-10-\n[答案] A[解析] ∵s=6sin,∴T==1,从最左边到平衡位置O需要的时间为=s,由6sin=3,得从最右边到最左边的距离为6.(理)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,上班高峰某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20][答案] C[解析] F(t)的周期为T==4π,当2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z时递增,即增区间是[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z,又0≤t≤20,故函数F(t)在[0,π]和[3π,5π]上递增,故选C.二、填空题7.(2022·重庆高考)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图像,则f()=________.[答案] [解析] 此题考查三角函数图像变换.∴ω=,φ=∴f(x)=sin(x+),∴f()=sin=.-10-\n8.若将函数y=2sin(3x+φ)的图像向右平移个单位后得到图像关于点(,0)对称,则|φ|的最小值是________.[答案] [解析] 将函数y=2sin(3x+φ)的图像向右平移个单位后得到2sin[3(x-)+φ]=2sin(3x-+φ)的图像.因为该函数的图像关于点(,0)对称,所以2sin(3×-+φ)=2sin(+φ)=0,故有+φ=kπ(k∈Z).解得φ=kπ-(k∈Z).当k=0时,|φ|取得最小值.9.(2022·北京高考)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=-f(),则f(x)的最小正周期为________.[答案] π[解析] 本题考查了正弦型函数的单调性对称性以及周期的概念.由f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=-f()知,f(x)有对称中心(,0),由f()=f(π)知f(x)有对称轴x=(+)=,记T为最小正周期,则T≥-⇒T≥,从而-=⇒T=π.三、解答题10.(文)设函数f(x)=sinx+sin(x+).(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y=f(x)的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变化得到.[解析] (1)因为f(x)=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin(x+).所以当x+=2kπ-,即x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取最小值-.-10-\n此时x的取值集合为{x|x=2kπ-,k∈Z}.(2)先将y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得y=sinx的图像;再将y=sinx的图像上所有的点向左平移个单位,得y=f(x)的图像.(理)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间[0,]上的单调性.[解析] (1)f(x)=4cosωx·sin(ωx+)=2sinxω·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin(2ωx+)+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+)+.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减.一、选择题1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图,则ω=( )-10-\nA.5 B.4C.3 D.2[答案] B[解析] 本题考查正弦型函数的图像性质.由图像知,函数周期为2×(x0+-x0)=,∴=,∴ω=4.2.(文)定义行列式运算=a1a4-a2a3.将函数f(x)=的图像向左平移个单位,以下是所得函数图像的一个对称中心的是( )A.(,0) B.(,0)C.(,0) D.(,0)[答案] B[解析] 根据行列式的定义可知f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-),向左平移个单位得到g(x)=2sin[2(x+)-]=2sin2x,所以g()=2sin(2×)=2sinπ=0,所以(,0)是函数的一个对称中心,选B.(理)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间t=0时,点A的坐标是(,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )A.[0,1] B.[1,7]C.[7,12] D.[0,1]和[7,12][答案] D[解析] ∵T=12,∴ω==,从而设y关于t的函数为y=sin(t+φ).又∵t=0时,y=,∴φ=,∴y=sin(t+),∴2kπ-≤t+≤2kπ+,即12k-5≤t≤12k+1,k∈Z时,y递增.-10-\n∵0≤t≤12,∴函数y的单调递增区间为[0,1]和[7,12].二、填空题3.(文)已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx,则f=________.[答案] 0[解析] 解法1:f(x)=-×+sin2x=-+sin2x+cos2x=-+sin,∴f=-+sinπ=-+sin=-+=0.解法2:当x=时,f=-sin2+sincos=-sin2+sincos=-+×=0.(理)函数y=3sin的对称中心是____________.[答案] ,k∈Z[解析] 由-=kπ,k∈Z得=+kπ.∴x=+2kπ,k∈Z.∴对称中心是(k∈Z).4.如图所示为函数y=Asin(ωx+φ)的图像上的一段,则这个函数的解析式为______________.[答案] y=2sin[解析] A=2,=-=,T=,∵=π,∴ω=,∴y=2sin.-10-\n∵当x=π时,y=2,∴2=2sin,即sin=1,∴φ+π=,φ=-,∴y=2sin.三、解答题5.(文)(2022·广东联考)已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)-cos2x+a(a∈R,a为常数).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后,得到函数g(x)的图像关于y轴对称,求实数m的最小值.[解析] (1)f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)-cos2x+a=sin2x-cos2x+a=2sin(2x-)+A.∴f(x)的最小正周期为=π,当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,故所求函数f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后得g(x)=2sin[2(x+m)-]+a要使g(x)的图像关于y轴对称,只需2m-=kπ+(k∈Z).即m=+(k∈Z),所以m的最小值为.(理)已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx(ω>0)的周期为.(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f(x)的值域.[解析] (1)f(x)=sin2ωx-(cos2ωx+1)=sin(2ωx-)-,-10-\n由f(x)的周期T==,得ω=2,∴f(x)=sin(4x-)-,由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),得-+≤x≤+(k∈Z),即f(x)的单调递增区间是[-+,+](k∈Z).(2)由题意,得cosx=≥=,又∵0<x<π,∴0<x≤,∴-<4x-≤,∴-<sin(4x-)≤1,∴-1<sin(4x-)-≤,∴f(x)的值域为(-1,].6.(2022·湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?[解析] (1)因为f(t)=10-2(cost+sint)=10-2sin(t+).又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin(t+)≤1.当t=2时,sin(t+)=1;当t=14时,sin(t+)=-1.-10-\n于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin(t+),故有10-2sin(t+)>11,即sin(t+)<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.-10-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:13:53
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