高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲函数y＝Asinωx＋φ的图象及三角函数模型的简单应用知能训练轻松闯关理北师大版

第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.2.(2022·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5　　　　　　　　　　B．6C．8D．10解析：选C.根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)A．－`B.C．1D.解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan2x，所以f＝tan＝.4.(2022·辽宁省五校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像如图所示，为了得到y＝sinωx的图像，只需把y＝f(x)的图像上所有点(　　)A．向右平移个单位长度8\nB．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：选A.由图像知，＝－，所以T＝π.又π＝，所以ω＝2.由f＝0得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin＝sin，可知选A.5．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图像关于直线x＝0对称，则(　　)A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数解析：选B.f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，因为其图像关于直线x＝0对称，所以f(x)是偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z；又因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin＝2cos2x.易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．6．(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2015)成立，则ω的最小正值为(　　)A.　　B.　　C.　　D.解析：选B.依题意得函数f(x)＝·sin在x＝x1处取得最小值，在x＝x1＋28\n015处取得最大值，因此×＝2015，即ω＝π(k∈Z)，ω的最小正值为，故选B.7．已知函数f(x)＝sin与g(x)的图像关于直线x＝对称，将g(x)的图像向左平移φ(φ>0)个单位后与f(x)的图像重合，则φ的最小值为________．解析：函数g(x)的解析式为g(x)＝sin2x，其图像向左平移φ个单位后对应解析式为y＝sin(2x＋2φ)，从而2φ＝＋2kπ，即φ＝＋kπ(k∈N)，所以φmin＝.答案：8．(2022·高考重庆卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图像，则f＝________．解析：将y＝sinx的图像向左平移个单位长度可得y＝sin的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图像，故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.答案：9．(2022·江西省期中诊断)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)，若f(x)在上单调且f＝f＝－f，则ω的值为________．解析：因为f(x)在上单调，所以f(x)的周期T≥2×＝，因为f＝－f，－＝＜，所以是f(x)的对称中心，因为f＝f，－＝＜，所以x＝是f(x)的对称轴，即＝－＝，8\n所以T＝2π，即ω＝1.答案：110．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.答案：20.511．已知函数y＝2sin.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解：(1)y＝2sin的振幅A＝2，最小正周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.列表：x－X0π2πy＝sinX010－10y＝2sin020－20描点画图：12．(2022·济南模拟)已知函数f(x)＝cos·cos－sinxcosx＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的递增区间．8\n解：(1)因为f(x)＝cos·cos－sin2x＋＝－sin2x＋＝cos2x－sin2x－sin2x＋＝－－sin2x＋＝(cos2x－sin2x)＝cos，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，所以函数f(x)的递增区间为，k∈Z.1.(2022·亳州第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为(　　)A.B.πC.πD.或π解析：选D.要使方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y＝f(x)与函数y＝m的图像在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图像知，两个交点关于直线x＝或x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.2．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．解析：画出函数图像，8\n由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，因为f＝cos＝－且f＝cosπ＝－1，要使f(x)的值域是，只要≤m≤，即m的取值范围是.答案：3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图像如图所示，P是图像的最高点，Q为图像与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图像，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．解：(1)由条件，cos∠POQ＝＝，所以P(1，2)．所以A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.将点P(1，2)代入f(x)＝2sin，得sin＝1，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.(2)由题意，可得g(x)＝2sinx.所以h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sinx8\n＝2sin2x＋2sinx·cosx＝1－cosx＋sinx＝1＋2sin.当x∈[0，3]时，x－∈，所以sin∈.所以函数h(x)的值域为[0，3]．4．(2022·赣州十三县(市)高三联考)函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．解：(1)由已知得：f(x)＝6cos2＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin，又由于正三角形ABC的高为2，则BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，所以ω＝，函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2·sin＝，即sin＝，由x0∈，得＋∈，所以cos＝　＝.故f(x0＋1)＝2sin8\n＝2sin＝2＝2＝.8