函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用8种常见考法归类（学生版）

函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用8种常见考法归类l高频考点考点一“五点法”作函数y=Asinωx+φ的图象考点二函数y=Asinωx+φ中各量的物理意义考点三三角函数的图象变换(一)已知初始函数与变换过程，求目标函数(二)已知变换过程和目标函数，求初始函数(三)已知初始函数与目标函数，求变换过程(四)平移前后两个函数的名称不一致(五)与辅助角公式的结合考点四三角函数图象变换的综合应用(一)与周期性的综合(二)与对称性的综合(三)与奇偶性的综合(四)与单调性的综合(五)与零点的综合(六)综合应用考点五根据函数图象确定函数解析式考点六根据函数性质确定函数解析式考点七y=Asinωx+φ函数的图象和性质综合应用考点八三角函数模l解题策略1.函数y=Asin(ωx+φ)(1)匀速圆周运动的数学模型如图，点P从P0(t=0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H=rsin(ωt+φ)+h.(2)函数y=Asin(ωx+φ)的图象①用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：π3π列表.先由ωx+φ=0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx+φ的值求出y的值，列出下表.22·1· π3πωx+φ0π2π22-φπ-φπ-φ3π-φ2π-φx22ωωωωωy=Asin(ωx+φ)0A0-A0描点.在同一平面直角坐标系中描出各点.连线.用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象.成图.利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图.②φ,ω,A对函数y=Asinωx+φ的图象的影响φ,ω,A对函数y=Asinωx+φ的图象的影响函数y=sin(x+φ)y=sinx+φ(其中φ≠0)的图象，可以看作是把y=sinx图象上中ϕ对图象的影响所有的点向右(当φ<0时)或向左(当φ>0时)平行移动φ个单位长度而得到的.函数y=sin(ωx+φ)函数y=sin(ωx+φ)(其中ω>0)的图象，可以看作是把函数y中ω(ω>0)对图象的影响=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标伸长(当0<ω<1时)或缩短1(当ω>1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.ω函数y=Asin(ωx+函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0)的图象，可以看作是把函数φ)中A(A>0)对图象的y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短影响(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.③由y=sinx的图象通过图象变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的方法：注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx+ϕ”变化多少.2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质·2· 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质奇偶性：φ=kπ时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；πφ=kπ+时，函数y=2Asin(ωx+φ)为偶函数．周期性：2πy=Asin(ωx+φ)存在周期性，其最小正周期为T=ω单调性：根据y=sint和t=ωx+φ的单调性来研究πππ3π由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z由+2kπ≤ωx+φ≤+2222得单调增区间；2kπ,k∈Z得单调减区间对称性：对称轴对称中心函数y=Asin(ωx+φ)对称轴方程的求法：令函数y=Asin(ωx+φ)对称中心sin(ωx+φ)=±1，得ωx+φ=kπ+π(k∈Z)，则x的求法：令sin(ωx+φ)=0，得ωx+φ2kπ-φ(2k+1)π-2φ=kπ(k∈Z)，则x=(k∈Z)，=(k∈Z)，所以函数y=Asin(ωxω2ω所以函数y=Asin(ωx+φ)的图象关(2k+1)π-2φkπ-φ+φ)的图象的对称轴方程为x=2ω于点,0(k∈Z)成中心对ω(k∈Z)．称．拓展：函数y=Acos(ωx+φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx+φ)=±1，得ωx+φ=kπ(k∈Z)，则x=kπ-φkπ-φ(k∈Z)，所以函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z)．ωωπ函数y=Acos(ωx+φ)对称中心的求法：令cos(ωx+φ)=0，得ωx+φ=kπ+(k∈Z)，则x=2(2k+1)π-2φ(2k+1)π-2φ(k∈Z)，所以函数y=Acos(ωx+φ)的图象关于点,0(k∈Z)成中2ω2ω心对称．3.三角函数对称性与其他性质的转化三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性.因为对称性⇒奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f(x)为奇函数；若函数图像关于y轴对T称，则函数f(x)为偶函数)；对称性⇒周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心2TT之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为)；对称性⇒单调性(在相邻的对称轴24之间，函数f(x)单调，特殊的，若f(x)=Asin(wx),A>0,w>0，函数f(x)在[θ1,θ2]上单调，且0∈T[θ1,θ2]，设θ=maxθ1,θ2，则≥θ深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密4联系)4.函数图象变换解题策略三角函数图象的平移变换要注意平移方向与φ的符号之间的对应，横坐标的变化与ω的关系,纵坐标的变化与A的关系：·3· (1)对函数y=sinx，y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.sinα=πππcos2−α=cosα−2,cosα=sinα+2(3)确定函数y=sinx的图象经过变换后所得图象对应的函数的解析式,关键是明确左右平移的方向和横纵坐标伸缩的量,确定出A,ω,φ的值.由y=Asin(ωx+φ)的图象得到y=sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.(4)要注意是将f(x)的图象进行平移得到g(x)的图像,还是将g(x)的图象进行平移得到f(x)的图像,认真读题，是解题的第一要求，图象变换的两种情况先周期变换后相位变换和先相位变换后周期变换，这两种它们所移动的长度单位是不一样的．解答此类题目时应注意将自变量x的系数提取出来，紧紧抓住谁是变元这个关键--函数图象的左右平移是指自变量x的改变程度，另外应记清：左“+”右“-”，上“+”下“-”的规律.5.给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法：已知函数图像求函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0,w>0)的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定w，由适合解析式点的坐标确定ϕ，但有图像求得的y=Asin(wx+ϕ)(A>0,w>0)的解析式一般不唯一，只有限定ϕ的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数A,w,ϕ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”π(及图像上升时与x轴的交点)为wx+ϕ=0；“第二点”(即图像曲线的最高点)为wx+ϕ=；“第2三点”(及图像下降时与轴的交点)，为wx+ϕ=π；“第四点”(及图像曲线的最低点)为wx+ϕ=3π；“第五点”(及图像上升时与x轴的交点)为wx+ϕ=2π.2(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)2π的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ．(由ω=，即可求出ω.T求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)，即可求出φ)(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.(4)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．6.三角函数的应用(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：振幅周期频率相位初相·4· 2π1ωAT=f==ωx+φφωT2π(3)三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象，匀速圆周运动是比较典型的一个.解决这类问题时，首先寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有关问题.l考点精析考点一“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象1π1(2023·全国·高三专题练习)(1)利用“五点法”画出函数f(x)=y=sinx+在长度为一26个周期的闭区间的简图.列表:1πx+26xy作图:(2)并说明该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数f(x)图象的对称轴方程.2(2023春·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习)某同学用“五点法”画函数·5· πfx=Asinωx+φω>0,φ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：2π3πωx+φ0π2π223π5πx88Asinωx+φ02-20(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并写出函数fx的解析式．(2)将fx的图象向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到gx的图象．若gx的图象关于直线xπ=对称，求θ的最小值．33(2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习)某同学用“五点法”画函数fx=πAsinωx+φω>0,φ<在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：22ππ10πx-x1x2333π3πωx+φ0π2π22sinωx+φ010-10fx030y20(1)请利用上表中的数据，写出x1、y2的值，并求函数fx的解析式；4π(2)若hx=f4x-，求函数hx的单调增区间；32π1(3)将函数fx的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标32ππ不变，得到函数gx的图象，若gx-m<2在,上恒成立，求实数m的取值范围．42·6· 4(2023·全国·高三专题练习)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)ππA>0，ω>0，-<φ<的图像．22(1)列出下表，根据表中信息．πωx+φ0πa2π2x13b79f(x)020c0①请求出A，ω，φ的值；②请写出表格中a，b，c对应的值；③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y=f(x)一个周期内的图像；π(2)当ω=时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象4上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值．5(2023春·江西·高三校联考期中)已知变换T1：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向ππ左平移个单位长度；变换T2：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的236倍.请从T1，T2两种变换中选择一种变换，将函数gx=3sinx+3的图象变换得到函数y=fx的图象，并求解下列问题.π11π(1)求fx的解析式，并用五点法画出函数y=fx在一个周期内的闭区间-,上的图象；33(2)求函数fx的单调递减区间，并求fx的最大值以及对应x的取值集合.·7· 考点二函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义π1(2023·全国·高三专题练习)函数y=2sin2x+的振幅、频率和初相分别为()41π1π1π1πA.2，，B.2，，C.2，，D.2，，-π42π4π82π82(2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中)函数y=Asinωx+φA>0,ω>0ππ的振幅是2，最小正周期是，初始相位是-，则它的解析式为.212π3(2023·全国·高三专题练习)已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin100πt+,t∈[0,3+∞).(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;1171(2)分别求t=0,,,,时的电流.60015060060考点三三角函数的图象变换(一)已知初始函数与变换过程，求目标函数π1(2023·河北·高三学业考试)为了得到函数y=2sinx+，x∈R的图象，只需将函数y=32sinx，x∈R的图象上所有的点()ππA.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度33ππC.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度66π2(2023·全国·高三专题练习)为了得到函数y=cos2x-的图像，可以将函数y=cosx的图4像上()1πA.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位281πB.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位28·8· πC.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位8πD.每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位8π3(2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考期中)先将函数y=sin2x+的图象上61的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标2不变)，所得函数的解析式为()1π1πA.y=2sin4x+6B.y=2sinx+6ππC.y=2sinx+6D.y=2sin4x+63π4(2023·全国·高三专题练习)将y=sin3x-图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵43π坐标不变)，得到y=gx的图象，再将y=gx图象向左平移，得到y=φx的图象，则y=4φx的解析式为()3πA.y=sinxB.y=cosxC.y=sin9xD.y=sin9x-2xππ5(2023·全国·高三专题练习)将函数y=3sin+的图像向左平移个单位长度，再向上463平移4个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为()xπxπA.g(x)=3sin4+4+4B.g(x)=3sin4+12+4xπxπC.g(x)=3sin4+2+4D.g(x)=3sin4+12-4(二)已知变换过程和目标函数，求初始函数6(2023·全国·高三专题练习)将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数g(x)=cos2x的图象，则f(x)的解析式是()A.f(x)=cosxB.f(x)=cos2xC.f(x)=cos4xD.f(x)=cos8x·9· 7(2023·河南郑州·模拟预测)把函数y=fx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来ππ的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cosx-的图象，则fx=()4315ππ5π1πA.sin2x+12B.sin2x-12C.sin2x+12D.sin2x-1218(2023·陕西汉中·统考模拟预测)把函数y=fx图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，2πππ纵坐标不变，再把所得曲线向右平移4个单位长度，得到函数y=sin2x-3的图像，则f3=()31A.B.-C.1D.-122(三)已知初始函数与目标函数，求变换过程π9(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知函数fx=sin2x-，则要得到函数gx=sin2x的图6象，只需将函数fx的图象()ππA.向左平移个单位B.向右平移个单位66ππC.向左平移个单位D.向右平移个单位1212π10(2023·浙江金华·统考模拟预测)为了得到函数y=3sin2x-的图象，只要把y=5π3sin2x+图象上所有的点()5ππA.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度552π2πC.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度55π11【多选】(2023春·广东·高三校联考阶段练习)为了得到函数y=sin4x-的图象，只需将3π函数y=sinx+的图象()6·10· 1πA.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度481πB.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度48π1C.向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变24π1D.向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变24π12【多选】(2023·河北唐山·统考三模)为了得到函数y=cos2x-的图象，只需把余弦曲线3y=cosx上所有的点()1πA.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移231πB.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移26π1C.向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变32π1D.向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变62(四)平移前后两个函数的名称不一致π13(2023·陕西汉中·统考一模)为得到函数y=cos2x+的图象，只需将y=sin2x的图象3()5π5πA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度12122π2πC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度33π14(2023·全国·高三专题练习)要得到函数y=3sin2x+的图象，只需要将函数y=3cos2x3的图象()ππA.向右平行移动个单位B.向左平行移动个单位1212ππC.向右平行移动个单位D.向左平行移动个单位66ππ15(2023·高三课时练习)要得到函数fx=2cos2x+3的图象，只需gx=sin2x+3的图象·11· πA.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)2π1B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)22π1C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)42πD.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)4(五)与辅助角公式的结合16(2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习)要得到函数y=sinx+cosx的图象，只需将函数y=2cos2x的图象上所有的点()πA.先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)8π1B.先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)82πC.先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)4π1D.先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)423117(2023·河南·统考模拟预测)要得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需将函数y=22cos2x的图象()ππA.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度612ππC.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度612ππ18(2023·甘肃兰州·校考模拟预测)要得到函数y=4sinx-6cosx-6图象，只需把函数y=2sin2x的图象()ππA.向右平移个单位B.向左平移个单位66ππC.向右平移个单位D.向左平移个单位33·12· 19(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=3sinx-cosx的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到fx的导函数fx的图象，则fφ=()A.-3B.3C.1D.-1考点四三角函数图象变换的综合应用(一)与周期性的综合π1(2023春·贵州·高三校联考阶段练习)已知函数fx=sinωx+ω>0的最小正周期为42π，将函数的图象向左平移φφ>0个单位长度后得到的函数图象经过原点，则φ的最小值为3()ππππA.B.C.D.126422(2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)将函数fx=sinωx(ω>0)的图像向右2π平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则ω的最小值为()3A.2B.3C.4D.6π3(2023·全国·高三专题练习)设函数f(x)=tanωx(ω>0)，将函数f(x)的图象向右平移个单3位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为__.(二)与对称性的综合π4(2023·陕西榆林·统考模拟预测)将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，再把所得201图象各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x=()2ππππA.B.C.D.80604020·13· ππ5(2023·全国·高三专题练习)将函数y=sinωx-ω>0的图像分别向左､向右各平移66个单位长度后，所得的两个函数图像的对称轴重合，则ω的最小值为.25π2π6(2023·全国·高三专题练习)将函数fx=sin12-x-sinx+12的图象向左平移ππφφ>0个单位长度后，得到函数gx的图象，若gx满足g6-x=g6+x，则φ的最小值为()ππ2π3πA.B.C.D.4234ππ7(2023·全国·模拟预测)将函数fx=cosωx-ω>0的图象向左平移个单位长度得69π到函数gx的图象.若函数gx的图象关于点,0对称，则ω的最小值为.3π8(2023·四川南充·统考三模)已知点φ,0是函数fx=2sin3x+φ0<φ<的一个对称2中心，则为了得到函数y=2sin3x+1的图像，可以将fx图像()πA.向右平移个单位，再向上移动1个单位12πB.向左平移个单位，再向上移动1个单位4πC.向右平移个单位，再向下移动1个单位12πD.向右平移个单位，再向下移动1个单位4(三)与奇偶性的综合·14· π9(2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位得3到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tanφ=()33A.-3B.3C.-D.3310(2023·全国·高三专题练习)将函数y=sinx+3cosxx∈R的图像向右平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()πππ5πA.B.C.D.12636π11(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=3cos2x--cos2x，若要得到一个奇函数的图2象，则可以将函数fx的图象ππA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度66ππC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度1212π12(2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<，将y2π=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则8xg(x)+g的最小值为()297A.-B.-2C.-D.044π13(2023·重庆·统考三模)将函数f(x)=2sin2x+的图象向右平移φφ>0个单位得到函43π数gx的图象，则“φ=”是“函数gx为偶函数”的()8A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件·15· 14(2023·北京海淀·高三专题练习)将函数fx=asinx+bcosx(a,b∈R且b≠0)的图象上各1π点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则26a=．b(四)与单调性的综合15(2023秋·天津河西·高三天津市第四中学校考期末)将函数fx=sin2x+3cos2x的图象向π右平移个单位长度后得到函数gx的图象，则函数gx的一个单调递增区间为()6A.-π,ππ,3ππ,ππ,0B.C.-D.-44443621ππ16(2023·全国·模拟预测)将函数fx=3sinx+的图象上各点向右平移个单位长31212度得函数gx的图象，则gx的单调递增区间为()A.2kπ-5π,2kπ+22π5π,4kπ+4π,k∈ZB.4kπ-,k∈Z33335π4πC.6kπ-,6kπ+,k∈ZD.4π,9π3317(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)把函数fx=cos2x+φ(0<φ<π)的图π象向右平移个单位后，图象关于y轴对称，若fx在区间-a,a上单调递减，则a的最大值为6.18(2023·天津和平·统考三模)已知函数fx=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)，(i)若ω=1，将函π数fx沿x轴向右平移φ0<φ<个单位后得到一个偶函数，则φ=；(ii)若fx在2π,π上单调递增，则ω的最大值为.2·16· 19(2023·上海·高三专题练习)若函数y=f(x)的图像可由函数y=3sin2x-3cos2x的图像向π右平移φ(0<φ<π)个单位所得到，且函数y=f(x)在区间0,上是严格减函数，则φ=．2(五)与零点的综合π20(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=sinωx+ω>0的最小正周期为π，将fx4π的图象向右平移个单位长度得到函数gx的图象，若函数gx在-a,a上存在唯一极值点，则3实数a的取值范围是()A.π,11πB.π,11ππ,11πD.π,11π24242424C.24242424321(2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模)将曲线f(x)=x+2sinx的图象向ππ右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与直线y=2x-有3个交点，则这3个交42点的横坐标之和为()π3π3πA.B.C.πD.242π22(2023·北京朝阳·二模)将函数f(x)=sin2x的图象向左平移个单位得到函数gx的图象，8若gx在区间0,m上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为.π23(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知是函数fx=sinx+acosx的一个零点，将函数y3π=f2x的图象向右平移个单位长度后所得图象的表达式为()12·17· 7ππA.y=2sin2x-6B.y=2sin2x+12C.y=-2cos2xD.y=2cos2xπ24(2023·全国·校联考三模)将函数fx=sin2x的图像先向右平移个单位长度，再把所得函82数图像的横坐标变为原来的ω>0倍，纵坐标不变，得到函数gx的图像，若函数gx在ωπ,π上没有零点，则ω的取值范围是.4425(2023·全国·高三专题练习)将函数fx=3sin2x-2图象所有点的纵坐标伸长到原来的3π倍，并沿x轴向左平移φ0<φ<个单位长度，再向上平移2个单位长度得到gx的图象．若2π2π3πgx的图象关于点6,-3对称，则函数gx在-4,4上零点的个数是()．A.1B.2C.3D.426(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=acosωxa≠0,ω>0，若将函数y=fx的图象π7π向左平移个单位长度后得到函数y=gx的图象，若关于x的方程gx=0在0,上有且仅6ω12有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是()A.10,24B.16,4C.10,4D.16,247777775π4ππ27(2023春·江西·高三校联考阶段练习)已知直线x=,x=是函数fx=4sinωx+636π(ω>0)图像相邻的两条对称轴，将fx的图像向右平移个单位长度后，得到函数gx的图像.6若gx在-m,m上恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为()A.7π,11π7π,13π5π,13π5π,11π1212B.1212C.1212D.1212·18· (六)综合应用πx28(2023·河南·校联考模拟预测)将y=cos的图象向右平移2个单位长度后得到函数y=4gx的图象，则不等式gx>log2x的解集是()A.-∞,2B.2,+∞C.0,2D.0,11π29(2023·贵州遵义·校考模拟预测)已知函数fx=sinxcosx，gx=cos2x-，为了得26到函数fx的图象，可将函数gx的图象向左平移a个单位或向右平移b个单位，其中a,b>0，若a-b≥λ，则实数λ的取值范围为．30(2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)若函数f(x)=2sin2x的图像向右平移πθ0<θ<2个单位长度后得到函数g(x)的图像，若对满足fx1-gx2=4的x1，x2，有x1-x2π的最小值为，则θ=．6ππ31(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=4sinωx+3sinωx-3，ω>0的最小正π周期为π，将其图象沿x轴向右平移mm>0个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的3最小值为()π3ππA.πB.C.D.344·19· π32【多选】(2023·全国·高三专题练习)将函数y=cosx-的图像上所有点的横坐标变为原6来的ωω>0倍，纵坐标不变，得到的函数图像恰与函数fx=sin2x+φ0<φ<π的图像重合，则()πA.ω=2B.φ=3ππC.直线x=是曲线y=fx的对称轴D.点,0是曲线y=fx的对称中心63π33(2023秋·河南三门峡·高三统考期末)已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<的最小2正周期为π，且满足fx+φ=fφ-x，则要得到函数fx的图象，可将函数gx=cosωx的图象()ππA.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度33ππC.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度66π34(2023·广西玉林·统考模拟预测)将函数fx=sin2x的图象向左平移个单位长度后得到4函数y=gx的图象，则下列关于gx说法正确的是()πA.奇函数B.在0,上单调递增43ππC.图象关于点,0对称D.图象关于直线x=对称82π35【多选】(2023·重庆·统考模拟预测)已知fx=2sin3x+，将函数fx的图象向右平移3π个单位得到函数gx的图象，则()6π2πA.gx在区间0,上是增函数B.gx的一条对称轴为x=392ππ8πC.gx的一个对称中心为9,0D.gx在区间-9,9上只有2个极值点·20· π36【多选】(2023·辽宁·校联考三模)已知函数fx=cos2x+φ-<φ<0图像的一条对2π称轴为x=，先将函数fx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的8π点向右平移个单位长度，得到函数gx的图像，则函数gx的图像在以下哪些区间上单调递减4()A.π,2π7π9π9πB.-2π,-πC.,D.-,-4π222π37【多选】(2023·全国·高三专题练习)将函数y=sin2ωx(ω>0)向左平移个单位，得到函数6f(x)，下列关于f(x)的说法正确的是()πA.f(x)关于-,0对称65πB.当ω=1时，f(x)关于x=-对称12πC.当0<ω≤1时，f(x)在0,上单调递增12D.若f(x)在-π,5π3上有三个零点，则ω的取值范围为1,66238【多选】(2023·山东泰安·统考二模)已知函数fx=sinωx+3cosωxω>0的零点依次构ππ成一个公差为的等差数列，把函数fx的图象向右平移个单位长度，得到函数gx的图象，则26函数gx()πA.是奇函数B.图象关于直线x=对称2C.在π,3ππ,2π上是减函数D.在上的值域为-3,24463考点五根据函数图象确定函数解析式1(2023春·陕西西安·高三交大附中校考期中)若函数y=Asinωx+φ(ω>0,0<φ<π)在一·21· 个周期内的图象如图所示.(1)写出函数的解析式；π(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数y=gx的图象，求函数y3π2π=gx在x∈,上的值域.123π2(2023秋·全国·高三校联考开学考试)如图，函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<的图像2π过,0,2π,2两点，为得到函数gx=2cosωx-φ的图像，应将fx的图像()27π7πA.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度665π5πC.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度22π3(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=Asin(2x+φ)A>0,0<φ<部分图像如图所2示，则函数f(x)的图像可由y=Asin2x的图像向左平移个单位得到.·22· π4(2023·新疆乌鲁木齐·统考三模)已知函数fx=2cosωx+φω>0,φ<的部分图象如2ππ图所示，将函数fx图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数gx的图象，则g的值64为.5【多选】(2023·全国·模拟预测)已知函数f(x)=-3sinωx+cosωx+b(ω>0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.ω=2，b=12π5πB.f(x)在区间,上单调递增36·23· 5πC.函数f(x)的图象关于点-,0中心对称12πD.函数f(x)的图象可由y=2cosωx+b的图象向左平移个单位长度得到66(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的图象如图，则下列有关fx性质的描述正确的是()2πA.φ=32πB.x=+kπ,k∈Z为函数f(x)的对称轴3πC.fx向左移后的函数为偶函数12πkπ7πkπD.函数f(x)的单调递减区间为+,+,k∈Z122122π7(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=3sinωx+φx∈R,ω>0,φ<的部分图象如图2所示，则下列说法正确的是()1πA.fx=3sinx-312·24· 3π3B.f=423π9πC.不等式fx≥的解集为6kπ+,6kπ+k∈Z244πD.将fx的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在6π,8π上单调递增12π8(2023·全国·高三专题练习)函数fx=Asin2ωx+φA>0,ω>0，φ<的部分图象如2图所示.(1)求A，ω，φ的值；π(2)将函数fx的图象向右平移个单位长度，得到函数gx的图象，若α∈0,π，且gα=2，6求α的值.9(2023·全国·高三专题练习)函数fx=Asinωx+φ，(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与fx的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是()·25· 10A.函数fx的最小正周期是π97ππB.函数fx在-,-上单调递减123ππC.函数fx的图象向左平移个单位后关于直线x=对称1245π3ππD.若圆C的半径为，则函数fx的解析式为fx=sin2x+1263考点六根据函数性质确定函数解析式1(2023·全国·高三专题练习)写出一个满足以下三个条件的函数：fx=．①定义域为R；②fx不是周期函数；③fx是周期为2π的函数．2(2023春·江西南昌·高三校考阶段练习)设函数fx=cos2ωx+θ(ω>0,0<θ<π)，将函数πfx的图象向左平移单位长度后得到函数gx的图象，已知gx的最小正周期为π，且gx为12奇函数.(1)求fx的解析式；2π2(2)令函数hx=2gx+3cos2x+m-3对任意实数x∈-,π，恒有hx≥0，求实数m的63取值范围.·26· π3π3(2023·浙江温州·统考三模)已知函数f(x)=sinωx-4在区间0,2上恰有3个零点，其中ω为正整数.(1)求函数fx的解析式；πgx(2)将函数fx的图象向左平移个单位得到函数gx的图象，求函数Fx=的单调区间.4fx4(2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)ππω>0,-<φ<的两个相邻零点之间的距离为π．已知下列条件：①函数fx的图像关于直22ππ线x=-对称；②函数fx+为奇函数．请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答．36(1)求函数fx的解析式；1π(2)将函数fx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，212得到函数gxπ3的图像．若当x∈,m时，gx的值域为-,1，求实数m的取值范围．22π2ωxπ5(2023春·江苏苏州·高三统考期中)已知函数fx=3sinωx+6+2cos2+12-1,π(ω>0)图象的相邻两对称轴间的距离为.2(1)求fx的解析式；π1(2)将函数fx的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的(纵62·27· 坐标不变)，得到函数y=gx的图象，求gx的单调递减区间.6(2023春·四川南充·高三四川省南充市第九中学校考阶段练习)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ππω>0,|φ|<的两个相邻零点之间的距离为，且(在下面两个条件中任选择其中一个，完成下22ππ面两个问题).条件①：f(x)的关于x=对称；条件②：函数fx-为奇函数.612(1)求f(x)的解析式；π(2)将f(x)的图象向右平移个单位，然后再将横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)，得到函数4πg(x)的图象，若当x∈,m时，g(x)的值域为[-1,2]，求实数m的取值范围.6考点七函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质综合应用1【多选】(2023·全国·模拟预测)已知函数fx=sin3x+3cos3x，则下列结论正确的是()πA.fx的图象可由函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到9πB.fx的图象可由函数y=2cos3x的图象向右平移个单位长度得到6πC.fx的图象关于直线x=对称18πD.fx和图象关于点,0中心对称9ππ2(2023·全国·高三专题练习)已知fx=sinx+2，gx=cosx-2，则下列结论中正确的是()·28· A.函数y=fx⋅gx的周期为2B.函数y=fx⋅gx的最大值为1πC.将fx的图象向左平移个单位后得到gx的图象2πD.将fx的图象向右平移个单位后得到gx的图象23【多选】(2023·全国·高三专题练习)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω，φ是常数，ω>0，0<φ<ππ5ππ5π11π2)，若f(x)在区间-24,24上具有单调性，且f-24=-f24=-f24，则下列说法正确的是()A.f(x)的周期为πππB.f(x)的单调递减区间为-+kπ,+kπ(k∈Z)63πkπC.f(x)的对称轴为x=+(k∈Z)1225πD.f(x)的图象可由g(x)=sinωx的图象向左平移个单位得到1214(2023·全国·高三专题练习)设函数fx=sinωx+φ-(ω>0)，若对于任意实数φ，函数2fx在区间0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是()A.1,4B.4,5C.5,2D.2,733333x+lnx,x>05(2023·全国·高三专题练习)设函数f(x)=有5个不同的零点，则sinωx+π4,-π≤x≤0正实数ω的取值范围为()A.13,17B.13,17C.13,1713,17444444D.44·29· 2ωx6(2023·陕西咸阳·校考三模)已知函数fx=sinωx+23cos-3ω>0，且f(x)图2ππ象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象，且23π2当x∈0,时，不等式2m-m≥gx恒成立，则m的取值范围为()411A.-∞,-1∪2,+∞B.-∞,-2∪1,+∞1-171+171C.-∞,4∪4,+∞D.-∞,0∪2,+∞考点八三角函数模型1【多选】(2023春·重庆·高三重庆市万州第二高级中学统考阶段练习)2023年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数fx=*πAsinωx+φA,ω∈N,φ<的图像，而破碎的涌潮的图像近似fx(fx是函数fx的导函3数)的图像．已知当x=2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则()πA.ω=2B.f=6+23ππC.fx-4是偶函数D.fx在区间-3,0上单调2(2023·全国·高三专题练习)2019年长春市新地标--“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t(min)时P距离地面的高度ft=Asinωt+φ+hω>0,φ<π，当距离地面的高度在60+203m以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为()·30· A.2.0minB.2.5minC.2.8minD.3.0min3【多选】(2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测)如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系ππ为d=Asinωt+φ+KA>0,ω>0,-<φ<，t∈0,60，下列说法正确的是()22πA.K=2.2B.ω=302.2C.sinφ=D.P离水面的距离不小于3.7m的时长为20s34(2023秋·广东揭阳·高三统考期末)如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单π位：V)和时间t(单位：s)满足U=311sinωt+φω>0,φ<.在一个周期内，电压的绝对值超2311过的时间为.(答案用分数表示).2·31· 5(2023·湖北·模拟预测)现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x，y的单位：m).该游客根据观察发现整个运动过11程中，相位的变化量为π，则ω约为()4A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85·32·