2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题12函数的图象（Word版附解析）

专题12函数的图象知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：作函数的图象题型二：函数图象的识别题型三：研究函数的性质题型四：函数图象在不等式中的应用题型五：求参数的取值范围题型六：函数图象的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.【考点预测】1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等) ，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)y＝f(ax).y＝f(x)y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.【常用结论】1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x) 的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.【方法技巧】1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.3.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.4.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.5.根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择.6.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.7.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.二、【题型归类】【题型一】作函数的图象【典例1】作出下列函数的图象：(1)y＝x2－2|x|－1；(2)y＝|2x－2|. 【解析】(1)y＝其图象如图(1)．(1)(2)(2)首先作出y＝2x的图象，再将图象向下平移2个单位，最后将x轴下方的图象翻折到x轴上方即可，图(2)即为所求．【典例2】作出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝.【解析】(1)y＝|lgx|＝其图象如图(1)．(1)(2)(2)∵y＝＝＝2＋.定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．∴把y＝的图象向右平移1个单位得y＝的图象；再把y＝的图象向上平移2个单位可得y＝2＋的图象，如图(2)所示．【典例3】作出下列函数的图象：(1)y＝2－|x|；(2)y＝sin|x|. 【解析】(1)先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．图①　　　　　　　图②(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.【题型二】函数图象的识别【典例1】函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【解析】由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f(0)＝＞0，所以b＞0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0.故a＜0，b＞0，c＜0.故选C.【典例2】已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)A．a>1，c>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1，0<c<1 【解析】该函数是减函数，∴0<a<1.∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c<1.故选D.【典例3】函数y＝的图象大致是(　　)【解析】从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.【题型三】研究函数的性质【典例1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．【典例2】已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.【解析】作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0<m<1<n且mn＝1. 若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝.从而m＝，n＝3，故＝9.【典例3】(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值【解析】f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．【题型四】函数图象在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________．【解析】由f(x)＝作出y＝f(x)的大致图象如图，f(x)＝1时，x＝1或x＝1＋，由f(－x)≤f(1)得－x≤1＋，从而得x≥－1，故填{x|x≥－1}．【典例2】若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________． 【解析】　如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则解得1<a≤2.【典例3】函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________________．【解析】当x∈时，y＝cosx>0.当x∈时，y＝cosx<0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1<x<时，<0.又函数y＝为偶函数，所以在[－4,0]上，<0的解集为，所以<0的解集为∪.【题型五】求参数的取值范围【典例1】已知函数f(x)＝若方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．【解析】方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f(x)＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f(x)＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点．因为f(x)＝所以y＝f(x)＋x＝作出函数y＝f(x)＋x与y＝－x＋a的大致图象如图所示． 数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)＋2x－a有两个不同的零点．【典例2】已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．【解析】先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.【典例3】已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．【解析】作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．【题型六】函数图象的综合应用【典例1】如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　) 【解析】当x∈时，f(x)＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A，C；当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f<f＝f，从而排除D，故选B.【典例2】不等式3sin－<0的整数解的个数为________．【解析】不等式3sin－<0，即3sin<.设f(x)＝3sin，g(x)＝，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sin－<0的整数解的个数为2.【典例3】已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　) 【解析】方法一　先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.方法二　先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.方法三　当x＝0时，y＝－f(2－0)＝－f(2)＝－4.故选D.三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝若f(2x－2)≥f(x2－x＋2)，则实数x的取值范围是(　　)A．[－2，－1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)【解析】作出f(x)的图象，如图所示，由图知f(x)的图象关于直线x＝1对称且在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴|2x－2－1|≤|x2－x＋2－1|，即|2x－3|≤|x2－x＋1|＝x2－x＋1，∴解得x≥1或x≤－2.故选D.【训练二】(多选)平面直角坐标系Oxy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是奇函数B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增【解析】由题意得，当－4≤x＜－2时，点B的轨迹为以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；当－2≤x＜2时，点B的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆；当2≤x＜4时，点B的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．以后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；因为f(x)的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)在[6,8]的图象和在[－2,0]的图象相同，故D正确．【训练三】已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是__________．【解析】由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点．函数y＝f(x)，x∈[0,6]的图象如图所示，由图知k的取值范围是. 【训练四】已知函数g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．【解析】对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min.观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝.因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，所以g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥，解得k≤或k≥.故实数k的取值范围是∪.【训练五】函数y＝ln|x－1|的图象与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________.【解析】由图象变换的法则可知，将y＝lnx的图象作关于y轴的对称变换，得到的图象和原来的图象一起构成y＝ln|x|的图象，将函数y＝ln|x|的图象向右平移1个单位长度，得到y＝ln|x－1|的图象，函数y＝－2cosπx的最小正周期T＝2，因为x＝3时，y＝ln|3－1|＝ln2＜2，所以可在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ln|x－1|与函数y＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象如图所示，两函数的图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6. 【训练六】已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是(　　)【解析】由函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数得f(0)＝loga＝0，解得b＝1.所以f(x)＝loga(x＋)，令y＝x＋，则y′＝1＋＝＞≥0，∴y＝x＋是增函数，由复合函数的单调性可知a＞1.所以g(x)＝loga||x|－1|＝当x＜－1时，函数g(x)单调递减；当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递增，排除B，C，D，经验证，A适合．故选A.四、【强化测试】【单选题】1.函数y＝－ex的图象(　　)A．与y＝ex的图象关于y轴对称 B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称C．与y＝e－x的图象关于y轴对称D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称【解析】由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．故选D.2.函数f(x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为(　　)【解析】∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f(x)<0，排除A，C.故选B.3.为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点(　　)A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1，∴y＝lgxy＝lg(x＋3)y＝lg(x＋3)－1.故选C.4.下列函数中，其图象与函数f(x)＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是(　　)A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)【解析】方法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．方法二　由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝lnx 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.故选B.5.若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为(　　)A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝－2C．a＝－1，b＝2D．a＝－1，b＝－2【解析】令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B．6.已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(1，)D．(1，2)【解析】作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)．故选C.7.已知函数y＝f(－|x|)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象不可能是(　　)【解析】函数y＝f(－|x|)＝当x<0时，y＝f(－|x|)＝f(x)，所以函数y＝f(－|x|) 的图象在y轴左边的部分，就是函数y＝f(x)的图象，故可得函数y＝f(x)的图象不可能是C．故选C.8.已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)A．f(x1)＋f(x2)<0B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x1)－f(x2)>0D．f(x1)－f(x2)<0【解析】函数f(x)的图象如图所示：且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.故选D.【多选题】9.将函数f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则下列函数f(x)不能满足条件的是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝ex－1－e1－xC．f(x)＝x＋D．f(x)＝log2(x＋1)＋1【解析】由题意知f(x)必须满足两个条件：①f(1)＝0，②f(1＋x)＝－f(1－x)．对于选项A，C，D，f(1)均不为0，不满足条件；对于选项B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x)． 10.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值【解析】f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．11.对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　)A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)＝0有三个解C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增D．函数F(x)有4个单调区间【解析】根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选ABD.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹· 布劳威尔(L·E·J·Brouwer)，简单讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)A．f(x)＝2x＋xB．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝D．f(x)＝lnx－1【解析】根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解，对于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此方程无解，所以f(x)＝2x＋x不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，解得x＝3或x＝－1，所以f(x)＝x2－x－3是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，解得x＝－或x＝1，所以f(x)＝是“不动点”函数；对于D，令lnx－1＝x，得lnx－x－1＝0，设g(x)＝lnx－x－1，则g′(x)＝－1＝，所以当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－2，所以方程lnx－x－1＝0无解，所以f(x)＝lnx－1不是“不动点”函数．故选BC.【填空题】13.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f＝________．【解析】由题图知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.答案：214.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．【解析】问题等价于函数y＝f(x)的图象与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1. 答案：(1，＋∞)15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋f(－a)，则实数a的取值范围是________．【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，作出f(x)的图象，如图：由图易知a<2.答案：(－∞，2)16.函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．【解析】函数f(x)的图象大致如图所示．因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，所以2xf(x)<0.由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．答案：(－3，0)∪(0，3)【解答题】17.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．【解析】(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4. (2)f(x)＝x|x－4|＝f(x)的图象如图所示．(3)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，即方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．18.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．【解析】(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－＋2，即y＝f(x)＝x＋(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.因为g(x)在(0，2]上为减函数，所以1－≤0在(0，2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞)．19.若函数y＝mx与函数y＝的图象无公共点，求实数m的取值范围． 【解析】由已知得f(x)＝它的图象如图．由图可知，当－1≤m＜m0(m0为直线y＝mx与图中曲线相切时直线的斜率)时，符合要求．将y＝mx与y＝1＋联立得mx2－(m＋1)x－1＝0，由Δ＝0得m＝－3＋2＝m0.∴实数m的取值范围为[－1，－3＋2)．20.已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx(a≠0)的图象如图所示，它与x轴仅有两个交点O(0，0)和A(xA，0)(xA＞0)．(1)证明常数c≠0；(2)如果xA＝，求函数f(x)的解析式．【解析】(1)证明：假设c＝0，则f(x)＝x2(ax－1)，∴xA＝＞0.当x＞xA时，f(x)＞0；当x＜xA时，f(x)＜0.这与图象显示的“当0＜x＜xA时，f(x)＞0”矛盾，故c≠0.(2)f(x)＝x(ax2－x＋c)．∵函数的图象与x轴有且仅有两个公共点，∴ax2－x＋c＝0有两个相等的实数根x＝.∴＝＋＝1且Δ＝1－4ac＝0，解得故所求函数为f(x)＝x3－x2＋x. 21.设a为实数，且1＜x＜3，试讨论关于x的方程x2－5x＋3＋a＝0的实数解的个数．【解析】原方程即a＝－x2＋5x－3.分别作出函数y＝－x2＋5x－3＝－＋(1＜x＜3)和y＝a的图象，得当a＞或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a＝或1＜a≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3＜a＜时，原方程的实数解的个数为2.22.已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0，因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．