2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数（Word版附解析）

专题10指数与指数函数知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：指数幂的运算题型二：指数型复合函数的定义域和值域题型三：指数函数的图象及应用题型四：比较指数式的大小题型五：解简单的指数方程或不等式题型六：指数函数性质的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.【考点预测】1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作＝0.③()n＝a(n∈N*，且n>1).④＝a(n为大于1的奇数).⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数y＝ax与y＝的图象关于y轴对称【常用结论】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.6.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.二、【题型归类】【题型一】指数幂的运算【典例1】(a>0，b>0)＝________.【解析】原式＝＝.【典例2】若＋＝3(x>0)，则＝________. 【解析】由＋＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.＋＝＋＝(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴＝.【典例3】已知a>0，则化为(　　)A．B．C．D．【解析】原式＝＝＝＝.故选B.【题型二】指数型复合函数的定义域和值域【典例1】求下列函数的定义域和值域．(1)y＝；　　(2)y＝；(3)y＝.【解析】(1)定义域为R.因为－|x＋1|≤0，所以y＝≥＝1，所以值域为[1，＋∞)．(2)定义域为R.又因为y＝＝1－，而0＜＜1，所以－1＜－＜0，则0＜y＜1，所以值域为(0，1)．(3)令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数y＝的定义域为[－4，1]．设u＝ (－4≤x≤1)，易得u在x＝－时取得最大值，在x＝－4或1时取得最小值0，即0≤u≤.所以函数y＝2u的值域为，即函数y＝的值域为[1，4]．【典例2】求下列函数的定义域和值域．(1)y＝8；　　　　(2)y＝4x＋2x＋1＋1；(3)y＝.【解析】(1)因为2x－1≠0，所以x≠，所以原函数的定义域是.令t＝，则t∈R且t≠0，所以由y＝8t(t∈R，t≠0)得y＞0且y≠1.所以，原函数的值域是{y|y＞0且y≠1}．(2)定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，且2x＞0.所以y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y＞1}．(3)设u＝x2－6x＋17，由于函数u＝x2－6x＋17的定义域是(－∞，＋∞)，故y＝的定义域为(－∞，＋∞)．又函数u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以≤，又＞0，故原函数的值域为.【题型三】指数函数的图象及应用【典例1】(多选)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是(　　)A．a＝b＝0B．a<b<0C．0<a<bD．0<b<a【解析】如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD. 【典例2】在同一直角坐标系中，指数函数y＝x，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是(　　)【解析】指数函数y＝x的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x，有零点，0.A，B选项中，指数函数y＝x在R上单调递增，故>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝x在R上单调递减，故0<<1，故C，D错误．故选B.【典例3】若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，＋∞)B．(－∞，1)C.D．(－∞，－1)【解析】由题设知，∃x>0使x＋a<e－x成立，令y＝x＋a，y1＝e－x，∴x>0时有y1＝e－x∈(0,1)，而y＝x＋a∈(a，＋∞)，∴当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立．【题型四】比较指数式的大小【典例1】若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．c>b>aC．b>c>aD．a>c>b【解析】∵函数y＝0.3x在R上是减函数， ∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0．3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴0<a<b<1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.故选B.【典例2】若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)A．ln(y－x＋1)>0B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0D．ln|x－y|<0【解析】设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确．因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．故选A.【典例3】若－1<a<0，则3a，，a3的大小关系是__________．(用“>”连接)【解析】易知3a>0，<0，a3<0，又由－1<a<0，得0<－a<1，所以(－a)3<，即－a3<－，所以a3>，因此3a>a3>.【题型五】解简单的指数方程或不等式【典例1】已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．【解析】当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.【典例2】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________．【解析】∵f(x)为偶函数， 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，∴f(x)＝当f(x－2)>0时，有或解得x>4或x<0.∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．【典例3】已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(　　)A．[2,4]B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]【解析】∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.故选D.【题型六】指数函数性质的综合应用【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．【解析】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．【典例2】(多选)下列各式比较大小正确的是(　　)A．1.72.5>1.73B.C．1.70.3>0.93.1D.【解析】∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；＝，y＝x为减函数， ∴＝，故B正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确；∵y＝x为减函数，∴，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，∴，∴，故D正确．故选BCD.【典例3】函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)A．f(bx)≤f(cx)B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx)D．与x有关，不确定【解析】∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，易知b＝2，c＝3，当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，当x>0时，3x>2x>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)<f(cx)，当x<0时，3x<2x<1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，∴f(bx)<f(cx)，综上，f(bx)≤f(cx)．故选A.三、【培优训练】【训练一】定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(log43)＝________.【解析】根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，又∵f(x)是定义在R上的增函数，∴在R上存在常数a使得f(a)＝3，∴f(x)＝2x＋a，∴f(a)＝2a＋a＝3， 解得a＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(log43)＝＋1＝＋1.【训练二】设f(x)＝|2x－1－1|，a<c且f(a)>f(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)【解析】f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.【训练三】已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．【解析】(1)f(x)＝－＋4＝2x－2λ·x＋4(－1≤x≤2)．设t＝x，得g(t)＝t2－2λt＋4.当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4＝2＋.所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.所以f(x)max＝，f(x)min＝，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)＝0有解可转化为λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)． 设φ(x)＝2·2x＋，当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.∴函数φ(x)的值域为.故实数λ的取值范围是.【训练四】已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是(　　)A．[－2，2)B．[－2，＋∞)C．(－∞，2)D．[－4，－2)【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，方程f(－x)＝－f(x)有解即可，即4－x－m·2－x－3＝－(4x－m·2x－3)，所以4－x＋4x－m(2－x＋2x)－6＝0，化为(2－x＋2x)2－m(2－x＋2x)－8＝0有解，令2－x＋2x＝t(t≥2)，则有t2－mt－8＝0在[2，＋∞)上有解，设g(t)＝t2－mt－8，对称轴为x＝.①若m≥4，则Δ＝m2＋32>0，满足方程有解；②若m<4，要使t2－mt－8＝0在t≥2时有解，则需解得－2≤m<4.综上可得实数m的取值范围为[－2，＋∞)．故选B.【训练五】已知函数f(x)＝，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件： ①m＞n＞3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为x∈[－1，1]，所以∈.设＝t，t∈，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.当a＜时，h(a)＝φ＝－；当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；当a＞3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.所以h(a)＝(2)假设存在满足条件的实数m，n.因为m＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，所以两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m＞n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m，n.【训练六】已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．【解析】(1)∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，又∵f(－x)＝2－x＋a·2x，∴①当f(－x)＝f(x)，即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1，即当a＝1时，函数f(x)为偶函数；②当f(－x)＝－f(x)，即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x) ＝－2x－a·2－x时，可得a＝－1，即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数．(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，即f(x)＝2x＋2－x，f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2，由题可得，(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0，令t＝2x＋2－x，则有t2－kt－5＝0，∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，根据对勾函数的性质可知，2x＋2－x∈，即t∈，方程t2－kt－5＝0在t∈上有实数根，则k＝＝t－，令φ(t)＝t－，∴φ(t)在上单调递增，且φ(2)＝－，φ＝，∴－≤k≤，∴实数k的取值范围是.四、【强化测试】【单选题】1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．【解析】对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，，故D正确．故选D.2.已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．b>c>a【解析】y＝0.4x为减函数，∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，又20.2>1，即a>b>c.故选A.3.已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减【解析】作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R上为增函数．故选C.4.已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)【解析】由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0<a<1.因为函数y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－1<k<0.函数y＝ax＋k的图象可以看成把y＝ax的图象向右平移－k个单位长度得到的，且函数y＝ax＋k是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1， 结合所给的选项，选B．5.设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)A．M＝NB．M≤NC．M<ND．M>N【解析】因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N，故选D．6.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<2【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0<c<1.所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又因为f(a)>f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D．7.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(　　)A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【解析】由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝＝＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即所以即0.38(t2－t1)＝ln2，所以t2－t1＝≈≈1.8.故选D.8.设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)A．K的最大值为0B．K的最小值为0C．K的最大值为1D．K的最小值为1【解析】根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D．【多选题】9.已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是(　　)A．y＝＋2B．y＝|x－2|＋1C．y＝log2(2x)＋1D．y＝2x－1【解析】函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点．故选ABC.10.函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 【解析】当a>1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1,0)，当x＝0时，y＝1－a<0，故选项A不正确，B正确．当0<a<1时，y＝ax－a为减函数，且过点(1,0)，当x＝0时，y＝1－a∈(0,1)，故选项C正确，D不正确．故选BC.11.设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是(　　)A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)　　C.>0D．f <【解析】2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A成立，2x1＋2x2≠2x1x2，所以B不成立，函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则>0，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，故C正确，f <说明函数是凹函数，可知f(x)＝2x的图象满足条件，故D正确．故选ACD.12.下列各式比较大小正确的是(　　)A．1.72.5>1.73B.C．1.70.3>0.93.1D.【解析】∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确．，y＝x为减函数，∴，故B正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确； y＝x为减函数，∴又在(0，＋∞)上递增，∴∴，故D正确．故选BCD.【填空题】13.计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．【解析】原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.答案：10014.函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．【解析】因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0，1)．答案：(0，1)15.已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．【解析】当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈，所以[－8，1]， 即－8≤－<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3，0)．答案：[－3，0)16.已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，由图象可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2a＋2c>2，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．答案：④【解答题】17.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．(1)求a与b的值；(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．【解析】(1)因为点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象上，所以所以又a＝－不符合题意，所以(2)由(1)可得f(x)＝()x－3.因为>1，所以y＝()x在其定义域上是增函数，所以f(x)＝()x－3在区间[－2，4]上单调递增．所以f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－2)＝－，最大值为f(4)＝6.18.已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值等于，求a的值．【解析】(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝，所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.19.已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，所以所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]上恒成立.又因为y＝与y＝均为减函数，所以y＝＋也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.则m≤，故m的取值范围是.20.已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值；(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，所以k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，∵f(1)<0，∴a－<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴实数m的取值范围是(－2,1)21.已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围．【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，经检验当m＝－1时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.(2)令＝2x＋1－a，令t＝2x，∴t>0，∴＝2t－a，即a＝t＋， ∴方程a＝t＋有正实数根，∵t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号．∴a≥2.即实数a的取值范围是[2，＋∞)．22.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.(1)若f(x)＝，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－，由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－，因为2x>0，所以x＝1.(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)，因为t∈[1,2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．