2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题02常用逻辑用语（Word版附解析）

专题02常用逻辑用语知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：充分、必要条件的判定题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围题型三：充要条件的探求与证明题型四：全称量词与存在量词题型五：命题中参数的取值范围培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.【考点预测】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，非p(x)∀x∈M，非p(x)【常用结论】1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和非p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.【方法技巧】1.充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.3.量词的否定注意事项(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与非p的关系，转化成非p的真假求参数的范围.二、【题型归类】【题型一】充分、必要条件的判定【典例1】已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log2x<0知0<x<1，所以q对应的x的范围为(0,1)，显然(0,1)是(0，＋∞)的真子集，所以p是q的必要不充分条件．故选B.【典例2】等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn} 单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．故选B.【典例3】在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围【典例1】已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．【典例2】已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1]B．(－∞，－1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)【解析】因为q：|x＋2a|<3，所以q：－2a－3<x<－2a＋3，记A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}，p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}． 因为p是q的必要不充分条件，所以A是B的真子集，所以a≤－2a－3，解得a≤－1.故选A.【典例3】若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________．【解析】由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因为1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件，所以满足且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2.【题型三】充要条件的探求与证明【典例1】数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？【证明】当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝2An＋B－A；当n＝1时，a1＝S1＝A＋B，适合an＝2An＋B－A.所以an＝2An＋B－A，显然{an}是等差数列，故充分性成立．反之，若{an}是等差数列，则有Sn＝na1＋d(d为公差)，即Sn＝n2＋n.设A＝，B＝a1－，即得Sn＝An2＋Bn，因此，必要性成立．所以Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的充要条件．【典例2】已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②求方程①②的根都是整数的充要条件．【证明】方程①有实数根⇔Δ＝16－16m≥0，即m≤1，方程②有实数根⇔Δ＝16m＋20≥0，即m≥－，∴方程①②都有实数根⇔－≤m≤1.∵m∈Z，∴m＝－1，0，1.当m＝－1时，方程①可化为x2－4x－4＝0，无整数解； 当m＝0时，方程②可化为x2－5＝0，无整数解；当m＝1时，方程①②都有整数解．综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.【典例3】求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【证明】(1)当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合题目要求；(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝.①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是得a＜0；②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是得0＜a≤1.综上，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1【题型四】全称量词与存在量词【典例1】下列四个命题中真命题是(　　)A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n【解析】对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.【典例2】下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2【解析】当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B. 【典例3】已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则¬p是(　　)A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0【解析】已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则¬p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.【题型五】命题中参数的取值范围【典例1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．【解析】当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.【典例2】已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．【解析】由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围为.【典例3】若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(　　)A．－4≤m≤－3B．m<－4C．m≥－4D．－4≤m≤0 【解析】若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则命题“∃x∈[1,4]，x2－4x－m＝0”是真命题，则m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为函数y＝x2－4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.故选D.三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.【解析】(1)f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立.若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞).(2)当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则解得1＜a≤.【训练二】(多选)下列说法正确的是(　　)A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件【解析】A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0.而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；B项，＞不能推出a＜b，比如＞－，但是2＞－3；a＜b不能推出＞，比如－2＜3，－ ＜，所以“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，故正确；C项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A⊆B，故正确；D项，an＞bn(n∈N，n≥2)不能推出a＞b＞0，比如a＝1，b＝0，1n＞0n(n∈N，n≥2)满足，但是a＞b＞0不满足，所以必要性不满足，故错误.【训练三】f(x)＝－x2－6x－3，记max{p，q}表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)＝max，若m<－2，且∀x1∈[m，－2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立，则m的最小值为________．【解析】y＝x－2为减函数，y＝log2(x＋3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x＝1时，x－2＝log2(x＋3)．由题意得，g(x)＝∴在[0，＋∞)上，g(x)min＝g(1)＝2，g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)＝－(x＋3)2＋6≤6.“∀x1∈[m，－2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立”等价于f(x)在[m，－2]上的函数值域是g(x)在[0，＋∞)上的值域的子集，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，令f(x)＝－x2－6x－3＝2，解得x＝－5或x＝－1，则m的最小值为－5.【训练四】已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．【解析】由2－m>m－1>0，解得1<m<，即q：1<m<.因为p是q的充分条件，所以解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 【训练五】设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．【解析】依题意，得A＝{x|x2－x－2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈.∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．【训练六】(多选)已知a∈R，则使命题“∀x∈，x2－sinx－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)A．a<1B．a≤2C．a<D．a≤【解析】x∈，令f(x)＝x2－sinx，则f′(x)＝2x－cosx>0，则函数f(x)＝x2－sinx在上单调递增，∀x∈，f(x)>f ＝，所以原命题为真命题的充要条件为a≤，而1<<2，则满足A选项、C选项的a均有a≤，a≤时a<1和a<都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.四、【强化测试】【单选题】1.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2.命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为(　　)A．任意常数列不是等比数列B．存在常数列是等比数列C．任意常数列都是等比数列D．不存在常数列是等比数列【解析】因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C．3.设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．故选B.4.已知f(x)＝sinx－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　)A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0【解析】易知f′(x)＝cosx－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0，故选C． 5.已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)B．(－1，3)C．(－3，＋∞)D．(－3，1)【解析】原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2<a－1<2，则－1<a<3.故选B.6.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B．7.“ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由ln(x＋1)<0得0<x＋1<1，－1<x<0，由x2＋2x<0得－2<x<0，所以“ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的充分不必要条件，故选A.8.“a<1”是“∀x>0，≥a”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x>0时，＝x＋，由均值不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立． 所以≥a的充要条件为a≤2.(实质就是条件的等价转化)显然“a<1”是“a≤2”的充分不必要条件，所以“a<1”是“∀x>0，≥a”的充分不必要条件．故选A.【多选题】9.已知a，b，c是实数，则下列结论中正确的是(　　)A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件【解析】对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2>bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD.10.下列说法正确的是(　　)A．“x＝”是“tanx＝1”的充分不必要条件B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30C．命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋>2”D．函数y＝sinx＋cosx－无零点【解析】由x＝，得tanx＝1，但有tanx＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tanx＝1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则得则f(x)＝x2＋5，在[－5，5]上的最大值为30，所以B是正确的；命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋<2”，所以C是错误的；当x＝时，y＝sinx＋cosx－＝0，故D是错误的．故选AB.11.下列命题的否定是全称命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0【解析】由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.12.已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)A．l⊂α，l⊥βB．l⊥α，m⊥β，l⊥mC．α⊥γ，β∥γD．l⊂α，m⊂β，l⊥m【解析】由面面垂直的判定定理可以判断A，B，C项均符合题意；对于D项，由l⊂α，m⊂β，l⊥m也可以得到α∥β，所以D项不符合题意．故选ABC.【填空题】13.若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为_______________．【解析】因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋114.在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．【解析】由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tanA＝tanB”的充要条件．答案：充要15.条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是___________________________；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________________________．【解析】设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以a≥2；(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以a<2.答案：(1)[2，＋∞)　(2)(－∞，2) 16.若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．【解析】因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.答案：(－∞，2]【解答题】17.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．(1)∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，有得这样的m不存在．(2)∵x∈P是x∈S的必要条件，∴S⊆P，有得m≤3，即m的取值范围是(－∞，3]．18.已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】由≤2得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2＝[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m＞0)得1－m≤x≤1＋m.∵非p是非q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴{x|－2≤x≤10}⊆{x|1－m≤x≤1＋m}， 有或得m≥9.∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．19.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．20.已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．【解析】y＝x2－x＋1＝＋，∵x∈，∴≤y≤2，∴A＝.由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，有1－m2≤，解得m≥或m≤－.∴实数m的取值范围是∪.21.已知x，y∈R，求证：＝＋成立的充要条件是xy≥0.【解析】先证充分性．若xy≥0，则x，y至少有一个为0或同号．∴＝＋一定成立．再证必要性．若＝＋，则(x＋y)2＝(＋)2， x2＋2xy＋y2＝x2＋2＋y2，xy＝，∴xy≥0.综上可知，命题成立．22.条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解析】设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，(1)因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以a<2.所以a的取值范围是(－∞，2)．