2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题11对数与对数函数（Word版附解析）

专题11对数与对数函数知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：对数的化简与求值题型二：对数函数的图象及应用题型三：对数型复合函数的综合问题题型四：比较指数式、对数式大小题型五：解对数方程、不等式题型六：对数函数性质的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.【考点预测】 1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.【常用结论】1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.二、【题型归类】【题型一】对数的化简与求值【典例1】(1)计算log535＋2log－log5－log514的值．(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值．(3)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则＋的最小值为 ________．【解析】(1)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2.(2)原式＝(log52＋log52＋log52)＝log25×3log52＝13.(3)因为x，y，z均为大于1的实数，所以lgx>0，lgy>0，lgz>0，又由z为x和y的等比中项，可得z2＝xy.＋＝lgz×＝lgxy×＝＝≥＝.故填.【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log32＋log92)(log43＋log83)的值；(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝log2015x，ai＝(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则(　　)A．I1＜I2B．I1＝I2C．I1＞I2D．I1与I2的大小关系无法确定【解析】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝＝＝×＝.(3)∵f1(ai＋1)－f1(ai)＝－＝，∴I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2015)－f1(a2014)| ＝×2014＝.∵f2(ai＋1)－f2(ai)＝log2015－log2015＝log2015＞0，∴I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2015)－f2(a2014)|＝log2015＝log20152015＝1.∴I1＜I2.故选A.【典例3】设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A.B．10C．20D．100【解析】2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝(舍m＝－)．故选A.【题型二】对数函数的图象及应用【典例1】已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1【解析】由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.故选A.【典例2】若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为． 【解析】若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，由图象知解得0<a≤.【典例3】已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2的零点，则＋lnx2的值为(　　)A．e2＋ln2B．e＋ln2C．2D．4【解析】根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2的零点，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，)，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为函数y＝lnx的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，lnx2)，又由函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，)和(x2，lnx2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝lnx2，则有＋lnx2＝＋x1＝2.【题型三】对数型复合函数的综合问题【典例1】已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围； (4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．【解析】(1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3＞0的解集为R，则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.∴a的取值范围为(－，)．(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－或a≥.所以实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3＞0对x∈[－1，＋∞)恒成立，因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a＜－1时，u(x)min＝u(－1)＞0，即解得－2＜a＜－1；当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2＞0，即－＜a＜，所以－1≤a＜.综上可知，a的取值范围为(－2，)．(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.【典例2】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，∴a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．令u(x)＝－x2＋2x＋3.则u(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减， 又y＝log4u在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值是0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，显然a≠0，因此应有解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.【典例3】已知函数f(x)＝loga是奇函数(a＞0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a＝时，若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞＋b恒成立，求实数b的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在其定义域内恒成立，即loga＝－loga，∴1－m2x2＝1－x2恒成立，∴m＝－1或m＝1(舍去)，即m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝loga(a＞0，a≠1)，令u＝＝1＋，则u在(1，＋∞)上为减函数．∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞＋b恒成立⇔f(x)－＞b在[3，4]上恒成立． 令g(x)＝f(x)－，由(2)知，g(x)在[3，4]上是单调递增函数，所以b＜g(x)min＝g(3)＝－，即b的取值范围是.【题型四】比较指数式、对数式大小【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则(　　)A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a<c<b【解析】c＝＝log34>log3e＝a.又c＝log34<log39＝2，b＝e1.5>2，∴a<c<b.故选D.【典例2】设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)A．b<c<aB．a<c<bC．a<b<cD．c<b<a【解析】因为a，b，c都是正数，所以＝log36＝1＋log32，＝log612＝1＋log62，＝log1224＝1＋log122，因为log32＝，log62＝，log122＝，且lg3<lg6<lg12， 所以log32>log62>log122，即>>，所以a<b<c.故选C.【典例3】设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　)A．a>b>cB．b>c>aC．a>c>bD．c>b>a【解析】a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.故选A.【题型五】解对数方程、不等式【典例1】方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．【解析】原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.【典例2】已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是____________．【解析】原不等式⇔①或②解不等式组①得<x<，不等式组②无解．所以实数x的取值范围为.【典例3】若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围是．【解析】依题意loga(a＋1)<loga(2)<loga1，∴或解得<a<1.【题型六】对数函数性质的综合应用【典例1】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增D．是奇函数，且在上单调递减【解析】f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln＝ln，∵y＝1＋在上单调递减，∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．【典例3】已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________【解析】当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，可得解得a∈(1,2]．三、【培优训练】【训练一】已知loga(a＋1)<log(a＋1)a(a>0且a≠1)，则a的取值范围是．【解析】∵loga(a＋1)－log(a＋1)a ＝－＝＝当a>1时，lg(a＋1)>lga>0，∴loga(a＋1)>log(a＋1)a，不符合题意；当0<a<1时，lga<0，lg(a＋1)>0，lg(a＋1)－lga＝lg>lg1＝0，lg(a＋1)＋lga＝lg[a(a＋1)]＝lg，∴loga(a＋1)<log(a＋1)a(0<a<1)即为lg>0，由于y＝lgx(x>0)单调递增，∴2－>1.又0<a<1，解得<a<1，综上有a的取值范围是.【训练二】已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．【解析】(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，得log2(2x－4)>2，得2x－4>4， 得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log2(1＋k)＝1，解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，即log2(2x＋1)＝x－2m有实根．所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．令g(x)＝log2(2x＋1)－x，则g(x)＝log2(2x＋1)－x＝log2(2x＋1)－log22x＝log2＝log2.因为1＋>1，log2>0，所以g(x)的值域为(0，＋∞)．所以－2m>0，解得m<0.所以实数m的取值范围是(－∞，0)．【训练三】已知函数f(x)＝lg.(1)计算：f(2020)＋f(－2020)；(2)对于x∈[2,6]，f(x)<lg恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由>0，得x>1或x<－1.∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}． 又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，∴f(x)为奇函数．故f(2020)＋f(－2020)＝0.(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lg恒成立可化为<恒成立．即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.即实数m的取值范围是(9，＋∞)．【训练四】设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是(　　)A.B.C.D.【解析】因为g(x)＝loga(a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”，所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，即g(x)＝x有两个不相同的实数根.又loga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.令s＝ax，s>0，即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，可得解得0<t<.【训练五】已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点； (4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是________.【解析】零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题.对于(1)，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lgx|的图象有两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k<0，使y2＝kx＋2与y1＝|lgx|的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k<0，y1＝|lgx|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lgx(x>1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.【训练六】已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3.所以k<－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 四、【强化测试】【单选题】1.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．b<c<a【解析】∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)A．log2xB.C．D．2x－2【解析】函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.故选A.3.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1【解析】由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg，得－26.7＋1.45＝lg，则lg＝－25.25，∴lg＝－10.1，lg＝10.1，∴＝1010.1.故选A.4.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　) 【解析】由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1，∴g(x)的图象应为D.5.设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定【解析】由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．故选A.6.若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)A．0<a<1B．0<a<2，a≠1C．1<a<2D．a≥2【解析】当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C．7.已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　)A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)【解析】由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C．8.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)A．[－1，2]B．[0，2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)【解析】当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.故选D.【多选题】 9.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)A．(a－1)(a－b)<0B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0D．(b－1)(b－a)>0【解析】①当a>1时，logab>1＝logaa，∴b>a，∴b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0.②当0<a<1时，logab>1＝logaa，∴b<a，∴0<b<a<1，∴b－1<0，b－a<0，∴(b－1)(b－a)>0.故选AD.10.已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为(　　)A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的最大值为0D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增【解析】f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴A错误，B正确；根据f(x)的图象(图略)可知D错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故C正确．故选BC.11.已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln2C．f(x)在(2，6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝lnt．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln2，故选BD． 12.在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)A．k＜0，0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．fg(1)＞0(x＞0)D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0【解析】由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．故选ABC.【填空题】13.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．【解析】因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝.答案：14.已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．【解析】令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：　115.已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________． 【解析】由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1时，y＝lnx＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．答案：2　(－2，e－2]∪(2，＋∞)16.已知函数f(x)＝－log2x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)①函数f(|x|)为偶函数；②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．【解析】对于①，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故①正确；对于②，若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，即－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故②正确；对于③，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②【解答题】17.已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．【解析】(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．(2)f(x)是奇函数，理由如下：因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f(x)是奇函数．18.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值．【解析】(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.由得－1<x<3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在区间上的最大值是f(1)＝log24＝2.19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.【解析】(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log(－x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x).所以x＜0时，f(x)＝log(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1， 而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，所以x＝1或x＝－1.所以－＜x＜.所以不等式的解集为{x|－＜x＜}.20.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围？【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可.当0＜a＜1时，显然不成立.当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2.21.已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．【解析】(1)f(x)是奇函数，证明如下：因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，所以解得－1<x<1，f(x)的定义域为(－1,1)．f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)因为当a>1时，y＝loga(x＋1)是增函数，y＝loga(1－x)是减函数，所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，loga>0，>1，>0，2x(1－x)>0，解得0<x<1，故使f(x)>0的x的解集为(0,1)． 22.已知f(x)＝lg，f(1)＝0，当x>0时，恒有f(x)－f＝lgx.(1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝lg(m＋x)的解集是∅，求实数m的取值范围．【解析】(1)∵当x>0时，f(x)－f＝lgx恒成立，∴lg－lg＝lgx，即(a－b)x2－(a－b)x＝0.∵x≠0，∴上式若恒成立，则只能有a＝b，又f(1)＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1，∴f(x)＝lg.(2)由lg＝lg(m＋x)知即由于方程的解集为∅，故有如下两种情况：①方程x2＋(m－1)x＋m＝0无解，即Δ<0，解得3－2<m<3＋2；②方程x2＋(m－1)x＋m＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g(x)＝x2＋(m－1)x＋m，则有即无解．综合①②知，实数m的取值范围是{m|3－2<m<3＋2}．