2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)

第四章　三角函数与解三角形§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ) 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.简谐运动的有关概念已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝___ωx＋φφ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2πx___________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0 3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径|φ|AA 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.()×××√ √ √ 3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是____m.1即12点时潮水的高度是1m. 探究核心题型第二部分 题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换√ √ 因为函数g(x)的图象关于y轴对称， 思维升华(1)由y＝sinωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值. 跟踪训练1(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是A.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度B.先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度C.先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度D.先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度√ √ 题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 √ ∴f(x)＝2cos(2x＋φ)－1，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后， (2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则＝______. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. √ 所以1<|ω|<2. 因为1<|ω|<2， 1 所以g(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π)， 题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用√ 即g(x)＝－2cos2x，所以g(x)为偶函数，故C错误； 命题点2函数零点(方程根)问题(－2，－1) 故m的取值范围是(－2，－1). 延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_________.[－2,1)∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1). 命题点3三角函数模型例5(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是A.点P再次进入水中时用时30秒B.当水轮转动50秒时，点P处于最低点C.当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D.点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒√√√ 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米， 建立如图所示的平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)， 即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N). (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题. √ 由图知，A＝2，f(0)＝－1，则2sinφ＝－1， 则g(x)的图象不单调，所以D错误. √ 因为x∈(0,1)， (3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历A.1.4hB.2.4hC.3.2hD.5.6h√ 设t1时开始开放，t2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次， 课时精练第三部分 基础保分练√12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 3.(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140mmHg或舒张压≥90mmHg，则说明该成人有高血压.设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋，则下列选项中正确的是A.当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升B.当天早晨9点时陈华的血压为125mmHgC.当天陈华没有高血压D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40mmHg√√√12345678910111213141516 选项C，D，因为p(t)的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的收缩压为135mmHg，舒张压为95mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；他的收缩压与舒张压之差为40mmHg，故选项D正确.12345678910111213141516 √12345678910111213141516 观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，12345678910111213141516 12345678910111213141516 √12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516xy 12345678910111213141516 (1)求函数f(x)的最大值；∵函数f(x)的最小值为－2，∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，12345678910111213141516 12345678910111213141516 可得函数y＝g(x)＝2sinωx的图象.∴ω≤4，即ω的最大值为4.12345678910111213141516 综合提升练11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)的值分别为√12345678910111213141516 12345678910111213141516 又2024＝4×506，∴S＝4×506＝2024.12345678910111213141516 √12345678910111213141516 由题意可知，12345678910111213141516 然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值.12345678910111213141516 12345678910111213141516 由三角函数的最大值可知A＝2，由三角函数的性质可知，则f(x1＋x2)＝2sin[2(x1＋x2)＋φ]＝2sin(2×2m＋φ)＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]12345678910111213141516 12345678910111213141516 14.风车发电是指把风的动能转化为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数解析式为____________________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为____秒.412345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒. 拓展冲刺练15.信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y＝Asin(ωx＋φ)，某种“信号净化器”可产生形如y＝A0sin(ω0x＋φ0)的波，只需要调整参数(A0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰.现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为12345678910111213141516 √12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，12345678910111213141516