2025年高考数学一轮讲义第2章 第6课时　幂函数与二次函数

第6课时　幂函数与二次函数[考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝__________________________．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的____．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)5/5 图象(抛物线)定义域R值域____对称轴方程x＝－b2a顶点坐标__奇偶性当______时是偶函数，当______时是非奇非偶函数单调性在-∞，-b2a上单调递__；在-b2a，+∞上单调递__在-∞，-b2a上单调递__；在-b2a，+∞上单调递__[常用结论]二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n].(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m＜－b2a≤m+n2时，最小值为f-b2a，最大值为f(n)；(3)当m+n2＜－b2a≤n时，最小值为f-b2a，最大值为f(m)；(4)当－b2a＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数．(　　)(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增．(　　)(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是4ac-b24a．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P86T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　)5/5 A．[－6，2]　　　B．[－6，1]C．[0，2]　D．[0，1]2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________．3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点4，12，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)考点一　幂函数的图象及性质[典例1]　(1)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)A．－1<m<0<n<1　　　B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n　D．－1<n<0<m<1(2)(2024·成都石室中学模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)A．m＝4　B．f(x)是减函数C．f(x)是奇函数　D．f(x)是偶函数(3)若(a＋1)12<(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与幂函数有关问题的解题思路(1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质．(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)5/5 上单调递减，则α＜0.(3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．[跟进训练]1．已知a＝245，b＝427，c＝2515，则(　　)A．b<a<c　B．a<b<cC．b<c<a　D．c<a<b考点二　二次函数的图象与解析式[典例2]　(1)(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则(　　)A．b2＞4ac　B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0　D．5a＜b(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．[跟进训练]2．(1)若abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)5/5 A　　　　　　　　BC　　　　　　　　D(2)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2＜0．请写出函数f(x)的一个解析式：________．(写出一个即可)考点三　二次函数的单调性与最值[典例3]　已知函数f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，若f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则实数k的取值范围为________．(2)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5