2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第03讲 幂函数与二次函数（讲义）（解析版）

第03讲幂函数与二次函数目录考点要求考题统计考情分析（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).2020年江苏卷第7题，5分从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现. 1、幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.5、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.（1）单调性与最值①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则. 【解题方法总结】1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3、一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件 在区间内没有实根 在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型一：幂函数的定义及其图像【例1】（2023·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ）A．B．或C．D．【答案】A【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.故选：A【对点训练1】（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（    ）．A．在上单调递增B．在上单调递减C．在上单调递增D．在上单调递减【答案】B【解析】因为是幂函数，所以，解得或，所以或，对于，函数在上单调递增，在上单调递减；对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B【对点训练2】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）A．2B．3C．4D．9【答案】B【解析】设幂函数为，图象过点，故，故，，.故选：B【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ）A．B．C．D． 【答案】C【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意；时，定义域为，值域为，故不合题意；时，定义域为，值域为，符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意；时，定义域为R，值域为，不符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，所以0，因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数，又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确， 故选：D.【解题方法总结】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用【例2】（2023·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.【答案】【解析】因函数是幂函数，则，解得或，当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，不等式化为：，即，解得：，所以实数a的取值范围为.故答案为：【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________．【答案】②③④⑤【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；图象是直线上去掉点，②错误；函数的定义域是，则它的值域是，③错误；函数的定义域是，则它的值域是，④错误；若函数的值域是，则它的定义域也可能是，⑤错误，故答案为：②③④⑤．【对点训练6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________. 【答案】【解析】因为对，，，所以只需即可，因为，，所以，，由，解得故答案为：.【对点训练7】（2023·福建三明·高三校考期中）已知，则实数的取值范围是___________【答案】【解析】已知，或①；，②；，③．综合①②③，求得实数的取值范围为．故答案为：﹒【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为．故答案为：【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．【答案】【解析】不等式变形为，所以，令，则有，因为函数在R上单调递增，所以在R上单调递增，则，解得，故不等式的解集为．故答案为：.【对点训练10】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【答案】【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，因为，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.【答案】-1【解析】因为幂函数在上为严格减函数， 所以，所以，又因为幂函数奇函数，且，所以，故答案为：-1【解题方法总结】紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.题型三：二次方程的实根分布及条件【例3】（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（    ）A．B．C．或1D．或4【答案】A【解析】关于x的方程有两个实数根，，解得：，关于x的方程有两个实数根，，，，，即，解得：或舍去故选：A.【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）.A．B．C．D．【答案】C【解析】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解可得 ，即或，解得，故选：C【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间（3，4）内，只需，即，解不等式组可得，即的取值范围为，故选：C.【对点训练14】（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故，故选：D【解题方法总结】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【例4】（2023·上海·高三专题练习）已知.(1)若，，解关于的不等式；(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.【解析】（1）因为，所以，又因，所以，所以，则不等式即为，即，若，则不等式的解集为；若，则不等式的解集为；若，当时，则不等式的解集为；当时，则不等式的解集为；当时，则不等式的解集为；（2）若，则，，当时，则无解，所以；若时，由，得， 对称轴为，假设，，，区间，在对称轴的左外侧或右外侧，所以在，上是单调函数，则的最值必在，处取到，，，，所以假设错误，则，综上，得到.【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.(1)求在区间上的解析式；(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.【解析】(1)设，则，，即当时，.(2)当时，；当时，；又因为，所以，函数在上的值域为，在上单调递减，在上单调递增，当时，，，因为，则，使得成立，则，解得.【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由已知可得的定义域为，任取，且，则，因为，，， 所以，即，所以在上是单调递增函数．（2），令，则当时，，所以．令，，则只需．当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．综上，实数的取值范围是．【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．【解析】（1）当时，不等式，即为，即，所以，所以或，所以原不等式的解集为．（2），由题意或，这时解得， 若，则，所以；若，即，所以，则，综上，或．【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．(1)求的表达式；(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．【解析】（1）由，可得的图象关于直线对称，函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为，所以设，根据根与系数的关系，可得，，因为方程的两个实根满足则，解得：，所以.（2）由于函数在区间上的最大值为，最小值为，则函数在区间上单调递增，又，即， 所以的对称轴方程为，则，即，故的取值范围为.【对点训练19】（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数.（1）求的值；（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知函数的定义域为，因为为偶函数，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得.（2）由（1）知所以，令，则，其对称轴为，①当，即时，在上单调递减，所以，由，解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，由，解得或，又，所以；③当，即时，在上单调递增，所以，由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值.综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为.【解题方法总结】 “动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.题型五：二次函数最大值的最小值问题【例5】（2023·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．【解析】（1）依题设，由，得，，得恒成立，∴，得，所以，又，所以，∴；（2）由题意可得：，，若，则，则在[0,1]上单调递增，所以；若，当，即时，在[0,1]上单调递增，当，只须比较与的大小，由，得：，此时，时，，此时， 综上，，时，，时，，时，，综上可知：的最小值为．【对点训练20】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．【解析】令，分别取，1，2，可得，，．由，利用绝对值三角不等式可得，因此当，时，，当且仅当时取等号，而，得在上的最大值为，说明等号能成立．故的最小值为．【对点训练21】（2023·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数，(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；(2)当时，记函数的最大值为，求的最小值．【解析】（1）当时，函数，当时，函数，此时，函数在上单调递增，当时，函数， 此时，函数在上单调递增，所以函数单调递增区间为和；因为函数单调递增区间为和，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，因为，，，，所以函数在区间的值域为；（2）由已知可得，，当时，即时，，对称轴为，当时，即时，函数在区间上单调递增，所以，当时，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，即时，若，，若，，因为当时，，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，所以，当，即时，此时，当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以若，即时，，若，即时，，综上所述，，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，所以.【对点训练22】（2023·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数．(1)当时，解方程；(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值．【解析】（1）当时，令．当时，，解得：当时，，解得：故方程的解为：和1；（2），其中，因为对称轴为，开口向下；对称轴为，开口向上，于是最大值在中取得．当，即时，在上单调递减．； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；当，即时，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，【解题方法总结】分类讨论1．（2015·山东·统考高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ）A．函数的最大值是1B．函数图象的对称轴是直线C．函数的单调递减区间是D．函数图象过点【答案】C【解析】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确，故选：C2．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【答案】 【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：