2025年高考数学一轮讲义第4章 第4课时　简单的三角恒等变换

第4课时　简单的三角恒等变换[考试要求]　能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．1．降幂公式(1)sin2α＝___________；(2)cos2α＝__________；(3)tan2α＝1-cos2α1+cos2α.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2+b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba2+b2，cosφ＝aa2+b2.[常用结论]公式的常用变式(万能公式)(1)sin2α＝2sinαcosαsin2α+cos2α＝2tanα1+tan2α2)cos2α＝cos2α-sin2αcos2α+sin2α＝1-tan2α1+tan2α；(3)1＋cosα＝2cos2α2；(4)1－cosα＝2sin2α2；(5)1＋sinα＝sinα2+cosα22；(6)1－sinα＝sinα2-cosα22；(7)tanα2＝sinα1+cosα＝1-cosαsinα.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式asinα＋bcosα＝a2+b2sin(α＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)(2)cosθ＝2cos2θ2－1＝1－2sin2θ2．(　　)(3)当α是第一象限角时，sinα2＝1-cosα2．(　　)4/4 二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cosα－3sinα化简的结果可以是(　　)A．12cosπ6-α　　　B．2cosπ3+αC．12sinπ3-α　D．2sinπ6-α2．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sinα＝55，cosα＝255，则tanα2＝(　　)A．2－5　B．2＋5C．5－2　D．±(5－2)3．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈5π2，3π且sinθ＝45，则sinθ2＝____________；cosθ2＝________．4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2)改编)在等式(tan10°－3)·sin(*)＝－2cos40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．考点一　三角函数式的化简[典例1]　化简：(1)sin2α+βsinα－2cos(α＋β)；(2)cos3π2-α-tanα2·1+cosα1-cosα(0<α<π)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数式的化简要遵循“三看”原则4/4 [跟进训练]1．已知0<θ<π，化简：1+sinθ+cosθsinθ2-cosθ22+2cosθ＝________．考点二　三角函数式的求值　给角求值[典例2]　(1)cos20°·cos40°·cos100°＝________．(2)求值：cos10°1+3tan10°-2sin50°1-cos10°.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　给值求值[典例3]　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinα2＝(　　)A．3-58　　　　B．-1+58C．3-54　D．-1+54(2)已知0＜x＜π4，sinπ4-x＝513，则cos2xcosπ4+x＝________.[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　给值求角[典例4]　(1)已知sinα＝55，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　)4/4 A．π4　　B．3π4　C．π3　　D．2π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解．(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．[跟进训练]2．(1)化简2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°为(　　)A．12　　B．1　C．2sin9°　　D．2(2)已知sin2θ＝－13，若π4<θ<3π4，则tanθ＝________．(3)已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝________，2α－β＝________．4/4