2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第4章　§4.4　简单的三角恒等变换

§4.4　简单的三角恒等变换考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝.(2)公式C2α：cos2α＝＝＝.(3)公式T2α：tan2α＝.2．常用的部分三角公式(1)1－cosα＝，1＋cosα＝.(升幂公式)(2)1±sinα＝.(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　　)(2)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(　　)(3)cos2＝.(　　)(4)tan ＝＝.(　　)教材改编题1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)A.B.C.D.2．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于(　　)A．－B.C．－D.3．若α为第二象限角，sinα＝，则sin2α等于(　　)4 A．－B．－C.D.题型一　三角函数式的化简例1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tanα等于(　　)A.B.C.D.(2)已知sinα＋cosα＝，则sin2＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1　(1)若f(α)＝2tanα－，则f 的值是________．(2)化简：·＝________.题型二　三角函数式的求值命题点1　给角求值例2　计算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°；(2)－；(3).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　给值求值例3　(2023·长春质检)已知sin＋cosα＝，则sin等于(　　)4 A.B.C．－D．－听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3　给值求角例4　已知sinα＝，cosβ＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2　(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α等于(　　)A.B．－C．－或0D.(2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan210°，则sin(60°＋α)的值为(　　)A.B．－C.D．－题型三　三角恒等变换的综合应用例5　已知f(x)＝sin＋2sin·cos.(1)求f 的值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin2α的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________4 ________________________________________________________________________思维升华　(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3　已知3sinα＝2sin2－1.(1)求sin2α＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tanβ－1＝0，求α＋β的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4