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高中数学复习专题:简单的三角恒等变换

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§4.5 简单的三角恒等变换最新考纲考情考向分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查,加强转化与化归思想的应用意识.选择、填空、解答题均有可能出现,中低档难度.1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S(α+β))tan(α-β)=(T(α-β))tan(α+β)=(T(α+β))2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=.知识拓展1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.2.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.3.辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),其中sinφ=,cosφ=.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( √ )(2)对任意角α都有1+sinα=2.( √ )(3)y=3sinx+4cosx的最大值是7.( × )(4)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.( × )题组二 教材改编2.[P127T2]若cosα=-,α是第三象限的角,则sin等于(  )A.-B.C.-D.答案 C解析 ∵α是第三象限角,∴sinα=-=-,∴sin=-×+×=-.3.[P131T5]sin347°cos148°+sin77°cos58°=.答案 解析 sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58°=(-cos77°)·(-sin58°)+sin77°cos58°=sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)=sin135°=.4.[P146T4]tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案 解析 ∵tan60°=tan(20°+40°)=,∴tan20°+tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)=-tan20°tan40°,∴原式=-tan20°tan40°+tan20°tan40°=.题组三 易错自纠5.化简:=.答案 解析 原式====.6.(2018·昆明模拟)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=.答案 解析 tanβ=tan[(α+β)-α]===.7.(2018·烟台模拟)已知θ∈,且sin=,则tan2θ=.答案 -解析 方法一 sin=,得sinθ-cosθ=,①θ∈,①平方得2sinθcosθ=,可求得sinθ+cosθ=,∴sinθ=,cosθ=,∴tanθ=,tan2θ==-.方法二 ∵θ∈且sin=,∴cos=,∴tan==,∴tanθ=.故tan2θ==-.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1.(2018·青岛调研)已知sinα=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为(  )A.-B.C.D.-答案 A解析 ∵α∈,∴tanα=-,又tanβ=-,∴tan(α-β)===-.2.(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角,若sin=,则cos等于(  )A.B.C.D.答案 A解析 由于角α为锐角,且sin=,则cos=,则cos=cos=coscos+sinsin=×+×=,故选A.3.计算的值为.答案 解析 ====.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.题型二 和差公式的灵活应用命题点1 角的变换典例(1)设α,β都是锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=.答案 解析 依题意得sinα==,因为sin(α+β)=<sinα且α+β>α,所以α+β∈,所以cos(α+β)=-.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°+α)=,则cos(30°-2α)的值为.答案 解析 cos(75°+α)=sin(15°-α)=,∴cos(30°-2α)=1-2sin2(15°-α)=1-=.命题点2 三角函数式的变换典例(1)化简:(0<θ<π);(2)求值:-sin10°.解 (1)由θ∈(0,π),得0<<,∴cos>0,∴==2cos.又(1+sinθ+cosθ)==2cos=-2coscosθ,故原式==-cosθ.(2)原式=-sin10°=-sin10°·=-sin10°·=-2cos10°=====.引申探究化简:(0<θ<π).解 ∵0<<,∴=2sin,又1+sinθ-cosθ=2sincos+2sin2=2sin∴原式==-cosθ.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等.跟踪训练 (1)(2017·豫北名校联考)计算:=.(用数字作答)答案 解析 ====.(2)(2017·南充模拟)已知α∈,β∈,且cosα=,cos(α+β)=-,则sinβ=.答案 解析 由已知可得sinα=,sin(α+β)=,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.用联系的观点进行三角变换典例(1)设α为锐角,若cos=,则sin的值为.(2)(1+tan17°)·(1+tan28°)的值为.(3)已知sinα=,α∈,则=.思想方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.答案 (1) (2)2 (3)-解析 (1)∵α为锐角且cos=>0,∴α+∈,∴sin=.∴sin=sin=sin2cos-cos2sin=sincos-=××-=-=.(2)原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°=1+tan45°(1-tan17°·tan28°)+tan17°·tan28°=1+1=2.(3)==cosα-sinα,∵sinα=,α∈,∴cosα=-,∴原式=-.1.(2017·山西五校联考)若cosθ=,θ为第四象限角,则cos的值为(  )A.B.C.D.答案 B解析 由cosθ=,θ为第四象限角,得sinθ=-,故cos=(cosθ-sinθ)=×=.故选B.2.(2018·成都模拟)若sinα=,则sin-cosα等于(  )A.B.-C.D.-答案 A解析 sin-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=×=.3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角,且tanα=-,则sin2α等于(  )A.-B.C.-D.答案 C解析 因为α是第二象限角,且tanα=-,所以sinα=,cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-,故选C.4.(2017·河南洛阳一模)设a=cos50°cos127°+cos40°sin127°,b=(sin56°-cos56°),c=,则a,b,c的大小关系是(  )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案 D解析 a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c==cos239°-sin239°=cos78°=sin12°,∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.5.已知sinα=且α为第二象限角,则tan等于(  )A.-B.-C.-D.-答案 D解析 由题意得cosα=-,则sin2α=-,cos2α=2cos2α-1=.∴tan2α=-,∴tan===-.6.已知sin2α=,则cos2等于(  )A.B.C.D.答案 A解析 因为cos2===,所以cos2===,故选A.7.(2018·新疆乌鲁木齐一诊)的值是(  )A.B.C.D.答案 C解析 原式====.8.已知锐角α,β满足sinα-cosα=,tanα+tanβ+tanαtanβ=,则α,β的大小关系是(  )A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α答案 B解析 ∵α为锐角,sinα-cosα=>0,∴<α<.又tanα+tanβ+tanαtanβ=,∴tan(α+β)==,∴α+β=,又α>,∴β<<α.9.(2017·江苏)若tan=,则tanα=.答案 解析 方法一 ∵tan===,∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=.方法二 tanα=tan===.10.(2018·河南八市质检)化简:·=.答案 解析 原式=tan(90°-2α)·=··=··=.11.已知sinα+cosα=,则sin2=.答案 解析 由sinα+cosα=,两边平方得1+sin2α=,解得sin2α=-,所以sin2====.12.(2018·吉林模拟)已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=,β是第三象限角,则sin=.答案 解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sinβ=,sinβ=-.又β是第三象限角,所以cosβ=-.所以sin=-sin=-sinβcos-cosβsin=×+×=.13.(2017·河北衡水中学调研)若α∈,且3cos2α=sin,则sin2α的值为(  )A.-B.C.-D.答案 C解析 由3cos2α=sin可得3(cos2α-sin2α)=(cosα-sinα),又由α∈可知cosα-sinα≠0,于是3(cosα+sinα)=,所以1+2sinα·cosα=,故sin2α=-.故选C.14.已知coscos=,则sin4θ+cos4θ的值为.答案 解析 因为coscos==(cos2θ-sin2θ)=cos2θ=.所以cos2θ=.故sin4θ+cos4θ=2+2=+=.15.(2017·武汉调研)设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为.答案 [-1,1]解析 由sinαcosβ-cosαsinβ=1,得sin(α-β)=1,又α,β∈[0,π],∴α-β=,∴即≤α≤π,∴sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin+sin(α-2α+π)=cosα+sinα=sin.∵≤α≤π,∴≤α+≤,∴-1≤sin≤1,即取值范围为[-1,1].16.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x-1)·sin2x+cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若α∈(0,π),且f=,求tan的值.解 (1)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x=cos2xsin2x+cos4x=(sin4x+cos4x)=sin,∴f(x)的最小正周期T=.令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z.∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(2)∵f=,∴sin=1.∵α∈(0,π),-<α-<,∴α-=,故α=.因此tan===2-.</sinα且α+β>

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发布时间:2022-07-01 09:00:12 页数:16
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文章作者:138****3419

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