第四章　§4.4　简单的三角恒等变换

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§4.4　简单的三角恒等变换考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)公式T2α：tan2α＝.2．常用的部分三角公式(1)1－cosα＝2sin2,1＋cosα＝2cos2.(升幂公式)(2)1±sinα＝2.(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　√　)(2)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(　√　)(3)cos2＝.(　√　)(4)tan ＝＝.(　√　)教材改编题1．(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)A.B.C.D.答案　D解析　方法一　(公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2－cos2＝cos2－sin2成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝cos＝cos ＝.方法二　(代值法)因为cos ＝，cos ＝，所以cos2－cos2＝2－2＝.2．若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝＝.3．若α为第二象限角，sinα＝，则sin2α等于(　　)A．－B．－C.D.答案　A解析　因为α为第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－＝－＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.题型一　三角函数式的化简例1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tanα等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　方法一　因为tan2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sinα＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期因为α∈，所以cosα＝，tanα＝＝.方法二　因为tan2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sinα＝.因为α∈，所以cosα＝，tanα＝＝.(2)已知sinα＋cosα＝，则sin2＝________.答案　解析　因为sinα＋cosα＝，两边同时平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，即sin2α＝，由降幂公式可知sin2＝＝＝－sin2α＝.思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1　(1)若f(α)＝2tanα－，则f 的值是________．答案　6－解析　依题意，f(α)＝2tanα－＝2tanα＋，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期而tan ＝tan＝＝＝2－，于是得f ＝2(2－)＋＝6－，所以f 的值是6－.(2)化简：·＝________.答案　解析　·＝·＝·＝·＝.题型二　三角函数式的求值命题点1　给角求值例2　计算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°；(2)－；(3).解　(1)原式＝cos20°·cos40°·cos80°＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(3)原式＝＝＝＝＝＝－2.命题点2　给值求值例3　(2023·长春质检)已知sin＋cosα＝，则sin等于(　　)A.B.C．－D．－答案　D解析　∵sin＋cosα＝，∴sinαcos －cosαsin ＋cosα＝，∴sinα－cosα＋cosα＝，∴sinα＋cosα＝，∴cos＝，∴sin＝sin＝cos2＝2cos2－1＝2×2－1＝－.命题点3　给值求角例4　已知sinα＝，cosβ＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝.答案　解析　因为sinα＝，且α为锐角，所以cosα＝＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期因为cosβ＝，且β为锐角，所以sinβ＝＝＝，那么sin2β＝2sinβcosβ＝2××＝，cos2β＝1－2sin2β＝1－2×2＝，所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝，因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)．所以α＋2β∈，故α＋2β＝.思维升华　(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．跟踪训练2　(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α等于(　　)A.B．－C．－或0D.答案　C解析　∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，当cosα＝0时，等式成立，此时sin2α＝0；当cosα≠0时，sinα＋cosα＝，两边平方得sin2α＝－.综上可得，sin2α＝－或0.(2)(2023·南京模拟)已知sin＝tan210°，则sin(60°＋α)的值为(　　)A.B．－C.D．－成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　A解析　∵sin＝tan210°，∴sin＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝，则cos2＝1－sin2＝，cos(30°－α)＝cos2－sin2＝，∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]＝cos(30°－α)＝.题型三　三角恒等变换的综合应用例5　已知f(x)＝sin＋2sin·cos.(1)求f 的值；(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin2α的值．解　(1)由题意得f(x)＝sin＋2sincos＝sin－2sincos＝sin－2sincos＝sin－sin＝sin2xcos －cos2xsin ＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，故f ＝sin＝0.(2)∵α∈，∴2α＋∈，又∵f(α)＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴f(α)＝sin＝，又∵sin＝<，∴2α＋∈，∴cos＝－＝－，∴sin2α＝sin＝sincos －cossin ＝×＋×＝.思维升华　(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练3　已知3sinα＝2sin2－1.(1)求sin2α＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tanβ－1＝0，求α＋β的值．解　(1)因为3sinα＝2sin2－1，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－，又因为sin2α＋cos2α＝＝，所以sin2α＋cos2α＝＝.(2)因为β∈，所以tanβ<0，因为2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tanβ－1)＝0，所以tanβ＝－，又因为α∈(0，π)，tanα＝－，所以<α<π.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以tan(α＋β)＝＝＝－1，由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝.课时精练1．已知x∈，cos(π－x)＝－，则tan2x等于(　　)A.B．－C.D．－答案　D解析　因为x∈，cos(π－x)＝－，所以cosx＝，sinx＝－＝－，由同角三角函数的关系，得tanx＝＝－.因此tan2x＝＝＝－.2．(2023·保定模拟)已知sin＝，则sin2θ的值为(　　)A.B．－C.D．－答案　B解析　由sin＝，得sin＝sinθcos －cosθsin ＝(sinθ－cosθ)＝，即sinθ－cosθ＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期等式两边同时平方，得1－sin2θ＝，所以sin2θ＝－.3．(2023·枣庄模拟)已知sin＝，则cos等于(　　)A．－B.C．－D.答案　A解析　cos＝cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　)A．1B．2C．4D．8答案　C解析　因为m＝2sin18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，因此＝＝＝＝4.5．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　)A．cos(－15°)＝B．sin15°sin30°sin75°＝C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－D．2sin18°cos36°＝答案　BD成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　tanα＝＝＝＝＝tan.∵α∈，β∈，∴α＝＋β，即α－β＝.12.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为(　　)A．－B．－8C．8D.答案　A解析　将π＝4sin52°代入，可得＝＝＝－＝－＝－＝－.13．(多选)(2023·长沙模拟)若sin ＝，α∈(0，π)，则(　　)A．cosα＝B．sinα＝C．sin＝D．sin＝答案　AC解析　∵sin ＝，α∈(0，π)，∴∈，cos ＝＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确；sinα＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；sin＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝，故C正确；sin＝sin cos －cos sin ＝×－×＝，故D错误．14．(2022·邢台模拟)已知α，β均为锐角，sin＝－，sin＝，则sin(α＋β)＝，cos(2α－β)＝.答案　　解析　因为sin＝cos＝－，sin＝，所以α＋为第二象限角，β－为第一象限角，所以sin＝＝，cos＝＝，所以sin(α＋β)＝sin＝sincos＋cos·sin＝.cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)＝－cos＝－成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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