2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.4　简单的三角恒等变换

第四章　三角函数与解三角形§4.4简单的三角恒等变换 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝.(2)公式C2α：cos2α＝＝＝.(3)公式T2α：tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α 2.常用的部分三角公式(1)1－cosα＝，1＋cosα＝.(升幂公式)(2)1±sinα＝.(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式) 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.()(2)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()√√√√ √ 2.若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于√ √ 探究核心题型第二部分 题型一三角函数式的化简√ 思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2计算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°； 命题点2给值求值√ 命题点3给值求角 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值. 跟踪训练2(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α等于√ ∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，当cosα＝0时，等式成立，此时sin2α＝0； √ ∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)] 题型三三角恒等变换的综合应用 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 因为2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tanβ－1)＝0， 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 √12345678910111213141516 4.公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则的值为A.1B.2C.4D.8√因为m＝2sin18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，12345678910111213141516 12345678910111213141516√√ 对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)对于C,cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝，所以C错误；12345678910111213141516 12345678910111213141516 6.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形.达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图，在黄金△ABC中，，根据这些信息，可得sin54°等于√12345678910111213141516 又因为cos236°＋sin236°＝1，12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 9.化简并求值.12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 综合提升练12345678910111213141516√ 12345678910111213141516 √12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516√√ 12345678910111213141516 12345678910111213141516 12345678910111213141516则sin(α＋β)＝，cos(2α－β)＝. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 拓展冲刺练√12345678910111213141516 12345678910111213141516 16.(2023·盐城模拟)已知由sin2x＝2sinxcosx，cos2x＝2cos2x－1，cos3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos3x＝4cos3x－3cosx，已知cos54°＝sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则＝________.12345678910111213141516 因为cos54°＝cos(90°－36°)＝sin36°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°，即4cos218°－3＝2sin18°，即4(1－sin218°)－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，12345678910111213141516 过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，从而有HM＝GHcos∠GHM＝2cos18°，12345678910111213141516 12345678910111213141516