2025年高考数学一轮讲义第4章 第7课时　正弦定理、余弦定理

第7课时　正弦定理、余弦定理[考试要求]　1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝_______________________；b2＝_______________________；c2＝_______________________变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)a+b+csinA+sinB+sinC＝asinA＝2RcosA＝__；cosB＝__；cosC＝__2．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝______________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；(4)S＝pp-ap-bp-cp=12a+b+c.[常用结论]1．三角形中的边角关系在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.2．三角形中的三角函数关系5/5 (1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC2；(4)cosA+B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．数量积的余弦定理式在△ABC中，AB·AC＝b2+c2-a22.5．角平分线定理ABAC＝BDDC(在△ABC中，AD是∠BAC的平分线)．6．在△ABC中，sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2.7．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差(等比)数列，则0＜B≤π3.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，一定有a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC．(　　)(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则必有A＝B．(　　)(3)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝(　　)A．2　　B．1　　　C．3　　D．22．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　)A．23　B．12C．27　D．283．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝2，则C＝________．5/5 4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝________，△ABC的面积为________．考点一　解三角形[典例1]　(2023·北京房山区二模)在△ABC中，cos2B＝－12，c＝8，b＝7.(1)求sinC；(2)若角C为钝角，求△ABC的周长．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．[跟进训练]1．(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin2A＝asinB，且c＝2b，则ab等于(　　)A．2　　B．3　C．2　　D．3(2)(2024·重庆模拟)在△ABC中，若2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝(　　)A．π6　B．π3C．2π3　D．5π6考点二　判断三角形的形状[典例2]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形　　B．锐角三角形C．钝角三角形　D．不确定5/5 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　若本例条件变为ab＝cosBcosA，判断△ABC的形状．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判定三角形形状的两种常用途径[跟进训练]2．在△ABC中，c-a2c＝sin2B2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形考点三　三角形面积的计算[典例3]　(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[跟进训练]3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，BC＝2.(1)若CD＝2，求sin∠ADC；(2)若∠C＝π4，求四边形ABCD的面积．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5