【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理课时作业 理

课时作业(二十四)　正弦定理和余弦定理一、选择题1．(2014·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A等于(　　)A．150°B．90°C．60°D．30°答案：D解析：由正弦定理，得＝，得sinA＝.又a<b，∴A<B＝45°.∴A＝30°，故应选D.2．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(　　)A.B．C．D．－答案：C解析：因为a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcosC，cosC＝＝×≥.故应选C.3．(2015·德州模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝，则△ABC的面积等于(　　)A.B．C．或D．或答案：C解析：由正弦定理得＝，可解得sinC＝，由题意知∠C有两解．当∠C＝时，∠A＝，7\n此时S△ABC＝AB·AC·sinA＝；当∠C＝时，∠A＝，此时S△ABC＝AB·AC·sinA＝.故应选C.4．(2015·合肥质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.若a＝，S为△ABC的面积，则S＋3cosBcosC的最大值为(　　)A．3B．C．2D．答案：A解析：由cosA＝＝＝－⇒A＝，又a＝，故S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，因此S＋3cosBcosC＝3sinBsinC＋3cosBcosC＝3cos(B－C)，于是当B＝C时取得最大值3，故应选A.5．(2015·潍坊模拟)在△ABC中，内角A，B的对边分别是a，b，若＝，则△ABC为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：解法一：∵＝＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：∵＝＝，7\n∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－a4＝b2c2－b4.即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.即△ABC为等腰三角形或直角三角形．故应选C.6．(2013·新课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)A．10B．9C．8D．5答案：D解析：由23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝±.∵A是锐角，∴cosA＝.又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴49＝b2＋36－2×b×6×，∴b＝5或b＝－.又∵b＞0，∴b＝5.故应选D.二、填空题7．(2014·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．答案：－解析：由已知及正弦定理，得2b＝3c.因为b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝＝－.8．(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．7\n答案：2解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sinC＝2.9．锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝2∠A，则的取值范围是________．答案：(，)解析：锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝2∠A，∴0<2∠A<，且<3∠A<π.∴<∠A<，∴<cosA<.由正弦定理可得＝＝2cosA，∴<2cosA<，即<<.10．(2015·德州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝3acosB－ccosB．若·＝2，b＝2，则△ABC的形状是________．答案：等腰三角形解析：由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，又bcosC＝3acosB－ccosB，∴sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，即sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，∴sinA＝3sinAcosB，又sinA≠0，∴cosB＝.由·＝2，得accosB＝2，7\n又cosB＝，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝2，可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，即a＝c，∴a＝c＝.故三角形ABC为等腰三角形．三、解答题11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知得cosA＝＝＝，因为∠A是△ABC的内角，∴A＝.(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝，∴△ABC是等边三角形．12．(2014·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA＝，求△ABC的面积．解：(1)由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，sin＝sin.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，7\n得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.由a<c，得A<C，从而cosA＝，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，所以△ABC的面积为S＝acsinB＝.13．(2015·济南一模)已知m＝(2cosx＋2sinx,1)，n＝(cosx，－y)，且m⊥n.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的单调增区间；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f＝3，且a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由m⊥n得m·n＝0，∴2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin＋1.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调增区间为，k∈Z.(2)∵f＝3，∴2sin＋1＝3，sin＝1，∴A＋＝2kπ＋，k∈Z.∵0＜A＜π，7\n∴A＝.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－bc，∴4＝(b＋c)2－3bc，∵b＋c＝4，∴bc＝4，∴S△ABC＝bcsinA＝.7