【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第10章 第3节 二项式定理课时作业 理

课时作业(六十三)　二项式定理一、选择题1．(2014·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)A．30B．20　　C．15D．10答案：C解析：在(1＋x)6的展开式中，含x2的项为T3＝C·x2＝15x2，故在x(1＋x)6的展开式中，含x3的项的系数为15.2．(2015·潍坊模拟)已知n为等差数列－4，－2,0，…中的第8项，则二项式n展开式中常数项是(　　)A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项答案：C解析：∵由前几项可得通项为am＝2m－6，∴a8＝2×8－6＝10，∴Tr＋1＝Cx20－2r·2r·x－＝2r·C·x20－r，令20－r＝0，得r＝8，故常数项为第9项．3．(2015·山东实验中学模拟)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)A．6B．7C．8D．9答案：B解析：(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6，由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.4．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(　　)A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3答案：B解析：令x＝1，则(1＋1)n＝C＋C＋…＋C＝64.∴n＝6.故(1＋x)6的展开式中系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.4\n5．(2015·山东枣庄一模)若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)A．36B．46C．34D．44答案：D解析：二项式的展开式为1＋C()1＋C()2＋C()3＋()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，所以a＝28，b＝16，所以a＋b＝28＋16＝44.故应选D.6．(2014·湖南)5的展开式中x2y3的系数是(　　)A．－20B．－5　　C．5D．20答案：A解析：由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，故应选A.7．(2015·合肥质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为(　　)A．1或－3B．－1或3C．1D．－3答案：A解析：令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.故应选A.8．(2015·黄冈模拟)设a＝(3x2－2x)dx，则二项式6展开式中的第4项为(　　)A．－1280x3B．－1280C．240D．－240答案：A解析：由微积分基本定理知a＝4，6展开式中的第4项为T3＋1＝C(4x2)33＝－1280x3，故选A.9．(2015·新课标调研)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)4\nA．－40B．－20C．20D．40答案：D解析：对于5，可令x＝1，得1＋a＝2，故a＝1.5的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝C25－r×(－1)r×x5－2r，要得到展开式的常数项，则x＋的x与5展开式的相乘，x＋的与5展开式的x相乘，故令5－2r＝－1得r＝3，令5－2r＝1得r＝2，从而可得常数项为C×22×(－1)3＋C×23×(－1)2＝40.10．(2015·青岛一检)“n＝5”是“n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：因为n(n∈N*)展开式的通项Tr＋1＝C2n－rx－，n的展开式中含有常数项时满足－＝0，当n＝5时，＝0，解得r＝3，此时含有常数项；反之，当n＝10时，r＝6，也有常数项，但是不满足n＝5，故“n＝5”是“n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件，故应选A.二、填空题11．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.答案：10解析：原等式两边求导得，5(2x－3)4·(2x－3)′＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令上式中x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.12．(2015·荆州模拟)已知a＝4∫0cosdx，则二项式5展开式中x的系数为________．答案：－80解析：依题意得a＝4∫0cosdx＝2sin0＝－2，即a＝－2，则Tr＋14\n＝C(－2)rx10－3r，当r＝3时，T4＝－80x.故二项式5的展开式中x的系数为－80.13．(2015·福州质检)在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，则r＝________.答案：4解析：由题意得，C＝C故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝或r＝4.因为r为整数，故r＝4.14．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．答案：56解析：由题意知C＝C，∴n＝8.∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝C＝56.4