2023年新高考一轮复习讲义第28讲 正弦定理和余弦定理（解析版）

第28讲　正弦定理和余弦定理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）在中，，，则外接圆的半径为（       ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解析】设R为外接圆的半径，故，解得．故选：A．2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（       ）A．1B．C．D．3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A选项，，，，又，由正弦定理得：，，试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；对于B选项，，，，由余弦定理得：，三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；对于D选项，，，，由正弦定理得：，，，，有两解，符合题意，故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（       ）A．若a＝2，b＝2021，c＝2022，则为钝角三角形B．若sin2A＝sin2B，则是等腰三角形C．若a：b：c＝2：3：4，则中最小的内角为A，且D．若a＝2，，，则【答案】B【解析】在中，最大的内角为C，，故为钝角三角形，A正确．因为sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或，故是等腰三角形或直角三角形，B错误．设a＝2x，b＝3x，c＝4x（x>0），中最小的内角为A，由余弦定理知．因为，所以，故中最小的内角为A，且，C正确．试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ．因为0<A<π，所以或．又因为c>a，所以C>A．则不符合题意，舍去，故，D正确．故选：B.5．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，，，则（     ）A．能制作一个锐角三角形B．能制作一个直角三角形C．能制作一个钝角三角形D．不能制作这样的三角形【答案】C【解析】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，，则，∴同理，∴，∴，，∴可以构成三角形，∴，∴为钝角三角形，故选：C6．（2022·山东临沂·二模）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．根据此公式，若，且，则△ABC的面积为（       ）A．B．C．D．【答案】A试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】由正弦定理边角互化可知化简为，即，,，解得：，根据面积公式可知.故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（     ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，，，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又锐角，且，，，解得，，，，，，，，，的取值范围为．故选：A．8．（2022·全国·高三专题练习）在中，三边长满足，则的值为（       ）试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C【解析】方法一：，由正弦定理得：，，，；，，，又，，，，，，即，整理可得：，，，，，；方法二：令，，，则满足；则可知：，；由得：，解得：或，，，，.故选：C.9．（多选）（2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且（       ）A．若，，则B．若，，则的面积为试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 C．若，则的最大值为D．若，则周长的取值范围为【答案】ACD【解析】因为，所以.对于A，B，若，则，，解得，的面积，A正确，B错误.对于C，若，则，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.故选：ACD10．（多选）（2022·山东·高三开学考试）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（       ）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形【答案】ACD【解析】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.故选：ACD11．（2021·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.12．（2022·海南中学高三阶段练习）已知四边形ABCD为圆内接四边形，若，，.则四边形ABCD的面积为______.【答案】【解析】解：设，在与中，由余弦定理得，，又由于，即，解得，即得.故，∴.故答案为：.试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 13．（2022·北京·二模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是________．【答案】（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：，，，，，（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.14．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）在中，P是边上靠近B点得四等分点，，则_______，则__________．【答案】    2    【解析】由余弦定理，得，又，得，所以，联立，得，所以，所以.故答案为：2；.15．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【解】(1)由于，，则．因为，试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．16．（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【解】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.17．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解】(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．【素养提升】1．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（       ）A．16B．24C．25D．36【答案】A【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．故选：A．试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 2．（2022·全国·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合题意舍去），∴，∴，设，∵是锐角三角形，∴，∴，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递增，故，试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴.故选：C．3．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：C.4．（2022·重庆·三模）在矩形中，，，E，F分别在边AD，DC上（不包含端点）运动，且满足，则的面积可以是（       ）A．2B．C．3D．4【答案】BC试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】如图，以为原点，所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，因为，，，所以，，，由余弦定理得得，可得，当且仅当等号成立，即，解得，或，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，而，，，，故选：BC.试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 5．（2022·北京·测试学校四高三）在中，，其外接圆半径，且，则___________.【答案】1【解析】因为，所以因为，所以,进而有，于是因为，所以.故答案为：16．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第19页，共1页学科网（北京）股份有限公司