2025年高考数学一轮讲义第4章 第5课时　三角函数的图象与性质

第5课时　三角函数的图象与性质[考试要求]　1．能画出三角函数的图象.2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在-π2，π2上的性质．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，-1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx≠kπ+π2，k∈Z值域________________________R周期2π______奇偶性____________奇函数单调性递增区间____________________________________________________________无6/6 递减区间________________________对称性对称中心____________________________________kπ2，0，k∈Z对称轴________________________________________________无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋π2，k∈Zkπ，k∈Z[常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(　　)(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1．(　　)(3)函数y＝tanx图象的对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)．(　　)(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数．(　　)二、教材经典衍生6/6 1．(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y＝3tan2x+π4的定义域是(　　)A．xx≠kπ+π2，k∈ZB．xx≠k2π-π8，k∈ZC．xx≠k2π+π8，k∈ZD．xx≠k2π，k∈Z2．(人教A版必修第一册P213习题5.4T2改编)下列函数中，周期为1的奇函数是(　　)A．y＝sinπx　　　B．y＝sin2πx+π2C．y＝sinπxcosπx　D．y＝tanπ2x3．(人教A版必修第一册P207例5改编)函数y＝2sinx-π3(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)A．-π，-5π6　B．-5π6，-π6C．-π3，0　D．-π6，04．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2cosx+π4的最大值为________，此时x＝________．考点一　三角函数的定义域和值域[典例1]　(1)(易错题)函数y＝1tanx-1的定义域为________．(2)函数y＝sinx－cosx+π6的值域为________．(3)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型6/6 (1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数，可先化为y＝Asin(x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围．[跟进训练]1．(1)函数y＝sinx-cosx的定义域为________．(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．考点二　三角函数的周期性与对称性[典例2]　(1)(2023·湖南雅礼中学一模)f(x)＝sin2x+12的最小正周期是(　　)A．π　　B．π2　C．π4　　D．2π(2)(2024·河北沧州模拟)已知函数f(x)＝cosωx+3π4(ω>0)的图象关于直线x＝π6对称，当f(x)的最小正周期取得最大值时，f(x)的图象上距离原点最近的对称中心为(　　)A．π3，0　B．π12，0C．-π12，0　D．-π6，0[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)求函数周期的两种常见方法：①公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为πω.y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|的周期T＝πω，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期T＝πω.②图象法．6/6 (2)对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式．②对称轴是直线，方程最终要写成“x＝…”的形式．[跟进训练]2．(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)A．y＝cos|2x|　　　B．y＝|sinx|C．y＝cos2x+π6　D．y＝tan2x-π4(2)(多选)(2023·广东深圳二模)已知f(x)＝cos(sinx)，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)＝f(x＋π)B．f(x)的图象关于直线x＝π对称C．f(x)的图象关于点π2，0中心对称D．f(x)的值域为[－1，1](3)若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有fπ3-x＝fπ3+x.则其解析式可以是f(x)＝________．(写出一个满足条件的解析式即可)考点三　三角函数的单调性　求三角函数的单调区间[典例3]　(1)函数f(x)＝sin-2x+π3在[0，π]上的单调递减区间为________．(2)函数y＝|tanx|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据单调性求参数[典例4]　已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx+π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是(　　)A．(0，2]　B．0，126/6 C．12，34　D．12，54[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数单调性的两类题型及求解策略(1)已知三角函数解析式求单调区间①求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②求形如y＝A|sin(ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝sin2πx-π5，则(　　)A．f(x)在-320，720上单调递增B．f(x)在-15，310上单调递增C．f(x)在310，45上单调递减D．f(x)在320，1320上单调递增(2)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　)A．π4　　B．π2C．3π4　　D．π6/6