2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第4章　§4.5　三角函数的图象与性质

§4.5　三角函数的图象与性质考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域周期性奇偶性奇函数单调递增区间单调递减区间对称中心对称轴方程5 常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减．(　　)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　　)教材改编题1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝22．函数y＝－tan的单调递减区间为________．3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.题型一　三角函数的定义域和值域例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)A.B.(k∈Z)5 C.(k∈Z)D．R(2)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为(2)函数y＝lgsinx＋的定义域为________________．题型二　三角函数的周期性与对称性例2　(1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是(　　)A．图象关于点对称B．图象关于点对称C．图象关于直线x＝对称D．图象关于直线x＝对称(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．5 (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．跟踪训练2　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则 f 等于(　　)A．1B.C.D．3(2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的最大值为B．f(x)的最小正周期为πC．f 为奇函数D．f(x)的图象关于直线x＝对称题型三　三角函数的单调性命题点1　求三角函数的单调区间例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究　若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　根据单调性求参数例4　(1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　)A.B.C.D.π(2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，且在上单调递增，5 则满足条件的ω的最大值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3　(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5