2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4.5　三角函数的图象与性质

§4.5　三角函数的图象与性质考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间[2kπ－π，2kπ]单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ18 常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减．(　×　)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　×　)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　×　)教材改编题1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2答案　A2．函数y＝－tan的单调递减区间为________．答案　(k∈Z)解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋<x<＋(k∈Z)，18 所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)．3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.答案　5　＋2kπ(k∈Z)解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z).题型一　三角函数的定义域和值域例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D．R答案　C解析　由cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.(2)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．答案　－4解析　∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－22＋，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案　18 解析　设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，∴sinxcosx＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.∴函数y的值域为.思维升华　三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为答案　D解析　由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－22＋，所以当cosx＝时，f(x)取最大值.(2)函数y＝lgsinx＋的定义域为________________．答案　解析　要使函数有意义，则有即解得(k∈Z)，所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为.题型二　三角函数的周期性与对称性18 例2　(1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是(　　)A．图象关于点对称B．图象关于点对称C．图象关于直线x＝对称D．图象关于直线x＝对称答案　C解析　由题可得，设2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．设2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)，通过对比选项可知，f(x)的图象关于直线x＝对称．(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．答案　　，k∈Z解析　若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.∴f(x)＝3sin＋1＝3cos2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，18 ∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.思维升华　(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．跟踪训练2　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则 f 等于(　　)A．1B.C.D．3答案　A解析　因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2<ω<3，所以<ω＋<，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f ＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.(2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的最大值为B．f(x)的最小正周期为πC．f 为奇函数D．f(x)的图象关于直线x＝对称答案　ABD18 解析　因为函数f(x)＝sin，所以f(x)的最大值为，A正确；最小正周期T＝＝π，B正确；f ＝sin＝sin＝－cos2x为偶函数，C错误；f(x)的对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故D正确．题型三　三角函数的单调性命题点1　求三角函数的单调区间例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．答案　，k∈Z解析　f(x)＝sin的单调递减区间是f(x)＝sin的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.延伸探究　若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间．解　令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝∪，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.命题点2　根据单调性求参数例4　(1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　)A.B.C.D.π答案　A18 解析　函数f(x)＝cos的单调递增区间为(k∈Z)，而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，所以⇒a≤，于是0<a≤，即a的最大值为.(2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．答案　解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω>0)．由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．由题知，⊆，∴∴6k－≤ω≤4k＋，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，－≤ω≤，∴0<ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，∴ωmax＝.思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3　(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)A．f(x)在上单调递减18 B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增答案　C解析　依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上不单调，所以D选项不正确．故选C.(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　∵x∈，∴ω－≤ωx－≤ω－，由于函数f(x)在上单调递增，∴(k∈Z)，解得(k∈Z)，故k只能取0，即0<ω≤1，∴“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的充分不必要条件．18 课时精练1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)．2．(2023·赣州模拟)已知f(x)＝sin2－，则f(x)是(　　)A．奇函数且最小正周期为πB．偶函数且最小正周期为πC．奇函数且最小正周期为2πD．偶函数且最小正周期为2π答案　A解析　f(x)＝sin2－＝－＝sin2x，故f(x)为奇函数，且最小正周期为T＝＝π.3．若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　A解析　因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，所以＝，所以T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝1.4．(2023·广州模拟)如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值是(　　)18 A.B.C.D.答案　B解析　根据题意，sin＝0，即－＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝－1时，|φ|取得最小值.5．(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，则下列结论中正确的是(　　)A．f(x)的最大值为B．f(x)在区间上单调递增C．f(x)的图象关于点对称D．f(x)的最小正周期为π答案　AB解析　f(x)＝sinx－cosx＝sin，对于A，f(x)max＝，A正确；对于B，当x∈时，x－∈，由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确；对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误；对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误．6．(多选)(2023·汕头模拟)对于函数f(x)＝|sinx|＋cos2x，下列结论正确的是(　　)A．f(x)的值域为B．f(x)在上单调递增C．f(x)的图象不关于直线x＝对称D．π是f(x)的一个周期18 答案　ACD解析　f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos2(x＋π)＝|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sinx≥0，所以f(x)＝sinx＋1－2sin2x，令t＝sinx，g(t)＝－2t2＋t＋1＝－22＋，t∈[0,1]，可知其值域为，故A正确；对于B，由A可知，g(t)在上单调递增，在上单调递减，因为t＝sinx，t∈[0,1]，所以f(x)在上不单调，故B不正确；对于C，因为f(0)＝1，f ＝0，所以f(0)≠f ，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C正确．7．(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________.答案　tanx(答案不唯一)解析　根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可，如f(x)＝tanx满足题意．8．(2023·吉林模拟)已知函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减，则φ的取值范围是________．答案　≤φ≤π解析　当x∈时，x＋φ∈，又函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减，所以x＋φ∈⊆，所以解得≤φ≤π.9．已知函数f(x)＝cosxsinx＋sin2x.18 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解　(1)f(x)＝cosxsinx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，∴函数f(x)的最小正周期为＝π，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x∈，∴2x－∈，则sin∈[－1,1]，∴f(x)∈，∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.10．(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f ，求g(x)在区间上的最大值．条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)选择条件①②：由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.由条件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin2x.经检验φ＝0符合题意．选择条件①③：18 由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin2x.(2)由题意得g(x)＝sin2x＋sin，化简得g(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，g(x)取最大值.11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能(　　)A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值答案　B解析　当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，因为－<φ<，所以－<ωx＋φ<＋ω，令ωx＋φ＝t，所以y＝sint，当－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z时，y＝sint单调递增，故f(x)在(0,1)上不可能单调递减．12．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　)A．f(x)在区间上单调递减B．f(x)在区间上有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴18 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线答案　AD解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确；对于C，因为f ＝sin＝sin3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．13．(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________.答案　2sin(答案不唯一)18 解析　对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称；对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4，ω＝，又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一．14．(2023·唐山模拟)已知sinx＋cosy＝，则sinx－sin2y的最大值为________．答案　解析　∵sinx＋cosy＝，sinx∈[－1,1]，∴sinx＝－cosy∈[－1,1]，∴cosy∈，即cosy∈，∵sinx－sin2y＝－cosy－(1－cos2y)＝cos2y－cosy－＝2－1，又cosy∈，利用二次函数的性质知，当cosy＝－时，(sinx－sin2y)max＝2－1＝.18 15．已知函数f(x)＝＋3sinπx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　)A．2B．4C．2πD．4π答案　B解析　令f(x)＝＋3sinπx＝0，则＝－3sinπx，所以f(x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sinπx图象交点的横坐标，因为y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝－3sinπx的周期为2，其图象关于点(1,0)对称，两函数图象如图所示，共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.16．(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sinx＋|cosx|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．答案　　解析　当x∈，k∈Z时，f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，当x∈，k∈Z时，f(x)＝sinx－cosx＝2sin，令－≤x＋≤，则－≤x≤，18 所以函数f(x)的一个单调递增区间为.f(x)＝则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f ＝1，令－≤x－≤，则－≤x≤，所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]．令≤x－≤，则≤x≤，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时，令f(x)＝1，则x＝，因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，所以≤a≤.18