2024届高考数学一轮复习第03讲 三角函数的图象与性质（教师版）

第03讲三角函数的图象与性质（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第15题,5分余弦函数图象的应用根据函数零点的个数求参数范围2023年新I卷，第17题,12分用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形三角形面积公式及其应用2022年新I卷，第6题,5分由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)无2022年新Ⅱ卷，第9题,5分求正弦(型)函数的对称轴及对称中心利用正弦函数的对称性求参数求sinx型三角函数的单调性求在曲线上一点处的切线方程(斜率)2021年新I卷，第4题,5分求sinx型三角函数的单调性无2020年新I卷，第10题,5分由图象确定正(余)弦型函数解析式无2020年新Ⅱ卷，第11题,5分由图象确定正(余)弦型函数解析式无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质3理解中的意义，理解的变化对图象的影响，并能求出参数及函数解析式【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加强复习备考 知识讲解1.三角函数的图象与性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴1.三角函数型函数的图象和性质（1）正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相（2）正切型函数性质的周期公式为：（3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质考点一、正弦（型）函数的图象及性质1．（天津·高考真题）函数为增函数的区间是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.【详解】，，，， 令可的的递增区间为.故选：C2．（上海·高考真题）函数的最小正周期为【答案】【分析】化简即得解.【详解】解：由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：3．（全国·高考真题）关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】C【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C．【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．4．（天津·高考真题）已知函数（为常数，）在 处取得最小值，则函数是（    ）A．奇函数且它的图象关于点对称B．奇函数且它的图象关于点对称C．偶函数且它的图象关于点对称D．偶函数且它的图象关于点对称【答案】A【分析】由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断【详解】，其中，若在处取得最小值，则，所以即，所以，所以，可得函数是奇函数，且图象关于点对称．故选：A5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则，则，故选：D.6．（2022·全国·统考高考真题）（多选）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．1．（全国·高考真题）函数的最小正周期是(    )A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为的形式，再由可得到答案．【详解】(其中)，．故选：C．2．（安徽·高考真题）已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C【详解】，由题设的周期为，∴，由得，，故选C.3．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．4．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）关于函数，下列说法正确的是（    ）A．函数在上最大值为B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增D．函数的最小正周期为【答案】BD【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，当时，，，最大值为2，A错误；对于B，因为，则函数的图象关于点对称，B正确；对于C，当时，，函数在上不单调，则在上不单调，C错误；对于D，函数的最小正周期，D正确.故选：BD. 5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（    ）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D．若函数在区间上的值域为【答案】AB【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．【详解】由题意知，所以．对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；对于选项B，由，，得，，则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为，所以，所以，所以，即：在区间上的值域为，故D项错误． 故选：AB.6．（2020·全国·统考高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．【答案】②③【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.考点二、余弦函数（型）的图象及性质 1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.3．（2021·北京·统考高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.4．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为．【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解. 6．（2019·全国·高考真题）函数的最小值为．【答案】.【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.【详解】，，当时，，故函数的最小值为．【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．7．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（    ）A．的最小正周期为B．C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有且仅有一个零点【答案】ACD【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.【详解】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，，得，，由，得，因为，所以，.所以. 对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，，，所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；对于D，，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图：  由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD1．（全国·高考真题）已知函数，则A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为【答案】B 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2．（全国·高考真题）函数的最小值为（    ）A．2B．0C．D．6【答案】B【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可.【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，故选：B.3．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，若是的一个极大值点，与此极大值点相邻的一个零点为，则下列结论正确的是（    ）A．在区间上单调递减B．将的图象向右平移个单位长度可得的图象C．在区间上的值域为D．的图象关于直线对称【答案】BC【分析】先根据题意求出，再利用极大值点和的范围求出，得到的解析式，利用余弦函数的单调性即可判断A的正误；利用三角函数图象的平移变换法则即可判断B的正误；利用余弦函数的图象与性 质求出在区间上的值域，即可判断C的正误；求出的值，即可判断D的正误．【详解】选项A：由题知，，∴，则，又是的一个极大值点，∴，，即，，∵，∴，∴，当时，，∴函数在区间上先增后减，故A错误；选项B：将的图象向右平移个单位长度可得的图象，故B正确；选项C：当时，，∴在区间上的值域为，故C正确；选项D：，则的图象不关于直线对称，故D错误．故选：BC.4．（2023·安徽铜陵·统考三模）（多选）若函数的图象关于直线对称，则（    ）A．B．点是曲线的一个对称中心C．在上单调递增D．直线是曲线的一条切线【答案】BCD 【分析】由题意利用对称轴即可求解判断A；代入验证法即可判断B；根据的范围，求解的范围，结合余弦函数的性质即可判断C；利用导数的几何意义判断选项D.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以，A选项错误；，因为，所以点是曲线的一个对称中心，B选项正确；，当时，，由余弦函数的性质知当时，单调递增，所以函数在上单调递增，C选项正确；设切点为，由可得切线斜率，若直线与曲线相切，则，解得，则切点坐标为，此时切线为，故直线是曲线的一条切线，选项D正确．故答案为：BCD5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（    ）A．若，则的最小值为B．若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为C．若在单调递减，则D．若在上只有1个零点，则 【答案】ABC【分析】由可得关于对称，所以，求出可判断A；由三角函数的平移变换求出，因为奇函数，所以求出可判断B；求出的单调减区间可判断C；取，取在的零点可判断D.【详解】对于A，由可得关于对称，所以，可得：，因为，所以的最小值为，故A正确；对于B，将的图象向右平移个单位得到，因为为奇函数，所以，则，所以的最小值为，故B正确；对于C，函数的单调减区间为：，则，令，，则，故C正确；对于D，若在上只有1个零点，则，取，令，则，则，时，无零点，故D不正确.故选：ABC.考点三、正切函数（型）的图象及性质1．（2001·上海·高考真题）函数的最小正周期为．【答案】 【分析】利用二倍角公式化简后，由正切函数的性质可得.【详解】因为，即，所以所以于是易知，所求函数的最小值周期.故答案为：2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．为奇函数B．在区间上单调递增C．图象的一个对称中心为D．的最小正周期为π【答案】C【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；因为，故是函数的一个周期，故D错误.故选：C3．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ）A．B．C．D．【答案】BD 【分析】根据的最小正周期可判断A；根据，确定，结合正弦函数单调性可判断B；根据时，，结合余弦函数单调性可判断C；数形结合，结合正切型函数图像和性质可判断D.【详解】对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A错误：对于选项B，函数的最小正周期为，当，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；对于C，函数最小正周期为，当时，，因为在上单调道减，所以在上单调递减，故选项C错误对于选项D，作出函数的大致图像如图：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，故选项D正确故选：BD1．（2023·广东·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（    ）A．函数的最小正周期为πB．函数的图像关于点中心对称C．函数在定义域上单调递增 D．若，则【答案】BD【分析】根据函数的最小正周期公式判断A选项，求的对称中心判断B选项，特殊值法判断C选项，求函数值域判断D选项.【详解】的最小正周期为,A选项错误;的对称中心，令,,对称中心为，当是对称中心,B选项正确;,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误;当,则,可得,D选项正确;.故选：BD.2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．B．的图象的对称中心是C．函数的零点是D．在上单调递增【答案】BCD【分析】结合正弦函数与正切函数的性质分析A、B、C，利用导数判断函数的单调性，即可说明D.【详解】因为，又的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以，故A错误；因为的对称中心为，的对称中心为，所以的图象的对称中心是，故B正确；因为的零点为，的零点心为，所以函数的零点是，故C正确；函数的定义域为，所以，因为，且， 所以，所以在上单调递增，故D正确；故选：BCD考点四、求三角函数图象的解析式1．（全国·高考真题）如图是函数的图象，那么（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.【详解】因为在函数的图象上，所以，，所以，此时，，又点在函数的图象上，所以，由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.故选：C.2．（天津·高考真题）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ） A．B．C．D．【答案】A【分析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.【详解】由图像知，，，解得，因为函数过点，所以，，即，解得，因为，所以，.故选：A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）（多选）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（　  　）  A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到【答案】AC 【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.【详解】由题意结合函数图象可得，解得，故，由，所以，又，所以，所以，，对于A，因为，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以点不是函数的图象的对称中心，故B错误；对于C，由，得，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得，故D错误.故选：AC.4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．   【答案】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．1．（福建·高考真题）函数的部分图象如图，则（    ）A．B．C．D．【答案】C 【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解．【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，∴，当时取最大值1，即，又，所以，故选：C．【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．属于基础题.2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）函数的部分图象如图所示，则（    ）  A．－2B．－1C．0D．【答案】C【分析】根据图象及“五点法”求函数解析式.【详解】由图可知，且过点，代入解析式可知，即．因为，所以，所以，所以．故答案为：C3（四川·高考真题）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（    ） A．B．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.【详解】由题意，设，由图象知：，所以，所以，因为点在图象上，所以，则，解得，所以函数为，即，故选：D4．（辽宁·高考真题）已知函数，的部分图像如下图，则=. 【答案】【分析】先求出周期，从而可得，代入函数值为0，结合已知的范围，可求得，最后由可得．【详解】由题意，∴，又，，而，∴，，，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．5．（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（    ）  A．B．C． D．【答案】AD【分析】由图象求出的解析式，再结合三角函数的诱导公式逐项分析即得.【详解】设，则的最小正周期为：，所以，因为的最大值为，最小值为，所以，所以，因为，所以，所以，故A正确，，故B不正确；，故D正确；，故C不正确.故选：AD.考点五、三角函数图象及性质的综合应用1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是（    ）   A．B．C．D．【答案】D【分析】根据图象，由求出，再由M，N点的坐标求出为定值.【详解】由图象可得，，且，所以，令，则，所以，则.故选：D2．（2023·湖南张家界·统考二模）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为D．是的导函数，令.则在上的值域为【答案】ABC【分析】利用正弦函数的最值和周期性可判断A，根据图象平移和奇偶性可判断B，根据正弦函数的零点可判断C，再根据导数运算公式和正弦函数的图象性质可判断D.【详解】A选项，由，故，必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，正确；B选项，由题意的图象关于y轴对称，正确；C选项，， 在上有且仅在4个零点，结合正弦函数的性质知：，则，正确；D选项，由题意，则在时，，故值域为，错误.故选：ABC.3．（2023·浙江嘉兴·统考二模）（多选）已知函数，则（    ）A．若的最小正周期为，则B．若，则在上的最大值为C．若在上单调递增，则D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为【答案】AC【分析】根据正弦型三角函数的图象性质逐项判断即可.【详解】对于A，若的最小正周期为，则，所以，故A正确；对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，故B不正确；对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，故C正确；对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以，所以，又，则的最小值为，故D不正确.故选：AC. 4．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）（多选）已知函数在上有最大值，则（    ）A．的取值范围为B．在区间上有零点C．在区间上单调递减D．存在两个，使得【答案】AC【分析】结合正弦型函数图像和函数单调性、最值逐项分析.【详解】A选项：有最大值，又因为，所以，要使在上有最大值，则，所以的取值范围为；B选项:,因为，所以，无零点，即在区间上无零点，错误；C选项:,,,根据函数图像，单调递减，即在区间上单调递减，正确；D选项：即，即，因为当函数图像单调递增，单调递增，与函数图像无交点；当函数图像单调递减，单调递增，与图像至多有一个交点，故至多存在1个，使得，选项错误；故选：AC1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）（多选）已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为B．在上的图像与直线没有交点C．在上没有对称轴D．在上有一个零点【答案】BCD【分析】根据已知得出，则，后根据余弦函数的图像和性质，即可逐一判断选项.【详解】图像上相邻的两个最高点之间的距离为，可得，，则，因在上是单调函数，则，所以，，则，又，则，A正确；因为函数周期为，所以在上的图像与直线必有交点，B错；因为，所以函数在半个周期内定有对称轴，C错；因为，则，，当时，，所以在上的图像都在轴下方，D错.故选：BCD2．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．的图象关于点对称 B．图象的一条对称轴是C．，则的最小值为D．若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是【答案】BC【分析】由可判断A，B；，即，画出图象，求得的最小正周期可判断C；函数有两个零点，即与的图象有两个交点，结合图象可判断D.【详解】，故A不正确；B正确；的图象如所示，若，则，由图可知，因为的最小正周期为，所以，故C正确；，，若时，函数有两个零点，即，即与的图象有两个交点，由图可知，，故D不正确.故选：BC. 3．（2023·河北张家口·统考一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ）A．为偶函数B．的最小值为C．在区间上单调递增D．方程在区间内的所有根的和为【答案】ACD【分析】运用函数奇偶性定义可判断A项，研究函数的周期性并画出图象可判断B项、C项，（也可运用整体法研究函数单调性可判断C项）运用对称性可判断D项.【详解】对于A项，的定义域为，，故A项正确；对于B项，由得：，所以，又因为，所以函数是以为周期的周期函数，所以，，即，故函数的图象如图所示．则， 所以函数的最小值为，故B项错误；对于C项，方法1：如图，当时，函数在上单调递增，故C项正确；方法2：当时，，所以，所以函数在上单调递增，故C项正确；对于D项，如上图可知，方程在区间有四个根，且，所以，故D项正确．故选：ACD．4．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知函数，，且的最小值是．若关于x的方程在上有2023个零点，则的最小值是【答案】【分析】先由条件可求得解析式，再求得的零点，结合正弦函数的图象及性质可得结果.【详解】由题意化简可得，则，即，解得．由，得，则或，解得或，结合图象可知：的相邻两个零点之间的距离是或．要使最小，则m，n都是的解，则．故答案为： 【基础过关】一、单选题1．（2023·湖南·校联考二模）函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先化简，然后利用对称轴写出，即可求出答案【详解】，因为图象的一条对称轴方程是，，解得，故当时，取得最小正值．故选：D2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，所以从递减到，从递减到，A错误；当从增加到时，从递减到，从1递减到， 所以从递增到，从递减到，B错误；当从增加到时，从递减到，从递减到，所以从递增到，从递减到，C错误；当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，所以从递增到，从递增到，D正确；故选：D3．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）A．2B．C．4D．8【答案】C【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C4．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据给定条件，构造函数、，，利用导数探讨单调性比较大小作答.【详解】令函数，则恒成立，故函数在上单调递增，所以当时，，则，于是，即；当时，，则，所以，而，于是，即； 综上：.故选：C二、填空题5．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则.【答案】6【分析】根据给定条件，结合函数图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答.【详解】显然函数的图象关于点成中心对称，依题意，函数的图象与函数的图象的交点关于点成中心对称，于是，所以.故答案为：66．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．【答案】【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则．【答案】【分析】根据是正弦函数的单调递减区间的子集推出，根据为偶函数推出，，二者结合可得. 【详解】当时，，由在区间上单调递减，得，解得,因为，所以．因为为偶函数，所以，，解得，，又，所以．故答案为：.8．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为．【答案】【分析】化简，得，转化为在区间上存在最小值，根据余弦函数的性质可得结果.【详解】，因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，由，得，所以，即.故答案为：9．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数具有下列三个性质：①图象关于对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为，则满足条件的一个函数. 【答案】（答案不唯一）.【分析】根据三角函数的性质一一分析的取值或范围即可.【详解】由③可得，由①可得，再由②可知时，，则，，故为奇数时符合条件，不妨令，则，A=1，此时.故答案为：.10．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则.【答案】1【分析】根据函数两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据的最小正零点求出，即可求出的值．【详解】令函数，得，所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，又因为是的最小正零点，所以，即，所以，，解得，，又，所以，即，所以．故答案为：．【能力提升】一、单选题1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知（为常数），若在 上单调，且，则的值可以是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值.【详解】对于函数，，因为在上单调，所以，即.又，所以为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为，所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，即，所以，所以，又为的一个对称中心，则，，则，，当时，.故选：A. 二、多选题2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知曲线关于轴对称，关于原点对称，设函数，则（    ）A．B．C．函数的最小正周期是D．函数的值域是【答案】CD【分析】根据对称确定，代入得到函数解析式，A错误，取特殊值排除B，根据周期公式得到C正确，求值域得到D正确，得到答案.【详解】关于轴对称，，故关于原点对称，，，故，，即，对选项A：，错误；对选项B：取，，，错误；对选项C：，对于恒成立，正确；对选项D：，对于恒成立，正确．故选：CD．3．（2023·山东德州·三模）函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点，圆与的图象交于两点，且在轴上，则（    ）   A．B．圆的半径为C．函数的图象关于点成中心对称D．函数在上单调递增【答案】AC【分析】根据图象，求出的解析式，可判断ABC选项，对D选项，求出范围即可判断.【详解】根据函数的图象以及圆的对称性,可得两点关于圆心对称,所以,于是,故A正确；由及,得,由于,所以,所以,从而,故半径为,故B错误；将代入得，所以是中心对称，故C正确；当时，，即，此时为减函数，故D错误.故选：AC4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的最小正周期是B．函数的最大值为1，最小值为C．函数的图像在区间上单调递减 D．函数的图像关于对称【答案】AD【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．【详解】，对于A：设的周期为，则,所以，其中，解得，所以最小值为，故A正确；对于B：设，则，所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；对于C：由B得当时，，且在上单调递减，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D：由，，所以，所以关于直线对称，故D正确，故选：AD． 5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（    ）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．函数的最小正周期为D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】对A：必有一个最大值和一个最小值可求；对B：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C：化简后求周期；对D：求出的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，故正确；由题意的图象关于轴对称，B正确；的最小正周期为C错误.，在上有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：，则，D正确；故选：ABD6．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）函数（其中）的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）  A．函数的最小正周期是 B．C．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度D．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度【答案】BD【分析】根据函数图像结合三角函数性质，根据周期，初相判断A,B选项，根据平移判断C,D选项即可.【详解】对A，由图可知，，最小正周期满足，所以，所以函数的最小正周期是，故A错误；对B，，即，将代入可得，得，又，所以，故B正确；对C，由上述结论可知，为了得到，应将函数向左平移个单位长度.故C错误，D正确.故选：BD.7．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数的图象关于直线对称，那么（    ）A．函数为奇函数B．函数在上单调递增C．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最大值为【答案】ACD【分析】根据题意求得，得到，利用三角函数图象变换，以及三角函数的图象与性质，结合利用导数求得函数的单调性与最值，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得，所以，所以，对于A中，由为奇函数，所以A正确；对于B中，由，可得，当时，即，函数单调递减；当时，即，函数单调递增，所以在上不是单调函数，所以B错误；对于C中，若，则和中，其中一个为最大值，另一个为最小值，则的最小值为半个周期，即，所以C正确；对于D中，把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则，令，可得，则，令，求得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，可得，所以的最大值为，所以D正确.故选：ACD.8．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图所示，其中点分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，则（    ）   A．B．图象的对称轴为直线C．图象的一个对称中心为点D．将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象【答案】BD【分析】先求出导函数，结合图象求出和，然后分别利用函数的对称性，以及图象变换进行判断即可.【详解】，因为，所以，因为分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，所以，所以，即，则，依题意得，，即，，即，，因为，所以，，所以，故A不正确；所以，由，，得，，所以图象的对称轴为直线，，故B正确；因为，所以点不是图象的一个对称中心，故C不正确；将的图象向右平移个单位长度得到 的图象，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象，故D正确.故选：BD9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设函数其中，．若，，且相邻两个极值点之间的距离大于，，设，则（    ）A．B．C．在上单调递减D．在上存在唯一极值点【答案】BC【分析】根据题意求得，由，求得，得到或，当时，求得，得到，进而得到，所以不符合题意，，求得，可判定A不正确；由时，求得，进而可判定B正确；求得，结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D错误.【详解】由函数，因为且，可得，可得，所以因为相邻两个极值点之间的距离大于，可得，解得，所以，可得，可得或，当时，，可得，则，可得，即因为，所以，所以，可得，则， 因为，所以不符合题意，（舍去），所以，所以A不正确；当时，可得，解得，因为，所以，所以B正确；由，可得，所以，其中，因为，可得，又由，可得，根据正弦函数的性质，可得在为单调递减函数，所以在上为单调递减函数，所以C正确；由，可得，因为，可得且，所以当时，即时，函数取得极大值；当时，即时，函数取得极小值，所以在上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.故选：BC.10．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．是以为周期的函数B．直线是曲线的对称轴C．函数的最大值为，最小值为D．若函数在区间上恰有2023个零点，则【答案】ACD【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知是以为周期的函 数，所以根据求解在区间上的最大值即可判断选项C，利用在区间上的零点个数即可判断选项D.【详解】对于A，因为，所以是以为周期的函数，故A正确；对于B，有，故B错误；对于C，由A知只需考虑在区间上的最大值，当时，令，则，易知在区间上单调递减，所以的最大值为，最小值为；当时，令，则，易知在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为，综合可知：函数的最大值为，最小值为，故C正确；对于D，因为是以为周期的函数，可以先研究函数在区间上的零点个数，易知，当时，令，解得或1，因为，则，则在区间上无解，在区间上仅有一解，当时，令，解得或1，因为，则，则在区间上无解， 在区间上也无解，综合可知：函数在区间上有两个零点，分别为和，又因为是以为周期的函数，所以若，则在区间上恰有个零点，又已知函数在区间上恰有2023个零点，所以，故D正确．故选：ACD【点睛】关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题.【真题感知】一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性 质即可解出．2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.3．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）     A．B．C．D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D4．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A. 5．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选：A．6．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：  则，解得，即．故选：C．二、填空题7．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．【答案】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.