高中数学复习专题：三角函数的图象与性质

§4.3　三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRx≠kπ＋}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ无知识拓展1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．(　×　)(2)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　×　)(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(　×　)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)(5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)题组二　教材改编2．[P35例2]函数f(x)＝cos的最小正周期是________．答案　π3．[P46A组T2]y＝3sin在区间上的值域是________．答案　解析　当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即y＝3sin的值域为.4．[P45T3]y＝tan2x的定义域是________．答案　解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域是.题组三　易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin答案　B解析　函数y＝2sin的周期T＝＝π，又sin＝1，∴函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．6．函数f(x)＝4sin的单调递减区间是______________________．答案　(k∈Z)解析　f(x)＝4sin＝－4sin.所以要求f(x)的单调递减区间，只需求y＝4sin的单调递增区间．由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________．答案　sin68°>cos23°>cos97°解析　sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°>cos23°>cos97°.题型一　三角函数的定义域和值域1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.2．函数y＝的定义域为________．答案　(k∈Z)解析　方法一　要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为.3．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．答案　解析　∵x∈，∴x＋∈，∵当x＋∈时，f(x)的值域为，∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.4．(2018·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为__________．答案　解析　设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.∴函数的值域为.思维升华(1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域；③通过换元，转换成二次函数求值域．题型二　三角函数的单调性命题点1　求三角函数的单调性典例(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　B解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.(2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sinx＋cosx的单调递增区间是____________．答案　解析　∵y＝sinx＋cosx＝sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，又x∈，∴单调递增区间为.命题点2　根据单调性求参数典例已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．答案　解析　由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sinx的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.引申探究本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是____．答案　解析　函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练　(2017·济南模拟)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)A.B.C．2D．3答案　B解析　由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝.题型三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1　三角函数的周期性典例(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)A．①②③B．①③④C．②④D．①③答案　A解析　①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<t<2，则自然数k的值为________．答案 2="">0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．答案　π解析　记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝，又f＝f＝－f，且－＝，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x1＝×＝，x2＝×＝，∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为(　　)A．y＝sin|x|B．y＝cos|x|C．y＝tan|x|D．y＝(x－1)0答案　B解析　∵cos|x|＝cosx，∴y＝cos|x|是周期函数．2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)A．－1B．－C.D．0答案　B解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.3．函数y＝sinx2的图象是(　　)答案　D解析　函数y＝sinx2为偶函数，排除A，C；又当x＝时函数取得最大值，排除B，故选D.4．(2017·成都诊断)函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为(　　)A．3，－1B．3，－2C．2，－1D．2，－2答案　D解析　y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sinφ＝，∴sinφ＝，又|φ|<，∴φ＝，则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．6．(2017·衡水模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)的周期是B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z答案　D解析　函数f(x)的周期为2π，A错；f(x)的值域为[0，＋∞)，B错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，C错；令kπ－<x－≤kπ，k∈z，可得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈z，d正确．7．函数y＝cos的单调递减区间为__________．答案>0时，∴a＝3－3，b＝5；②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.13．(2018·太原模拟)若f(x)＝3sinx－4cosx的一条对称轴方程是x＝a，则a的取值范围可以是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　因为f(x)＝3sinx－4cosx＝5sin(x－φ)，则sin(a－φ)＝±1，所以a－φ＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋＋φ，k∈Z，而tanφ＝且0＜φ＜，所以＜φ＜，所以kπ＋＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0，此时a∈，故选D.14．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案　[2,3)解析　sin＝在上存在两个根，设x＋＝t，则t∈，∴y＝sint，t∈的图象与直线y＝有两个交点，∴≤<1，∴2≤a<3.15．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)恒成立，且f＝1，则实数b的值为(　　)A．－1B．3C．－1或3D．－3答案　C解析　由f＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.16．(2018·兰州模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．解　(1)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]，∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)>0，得g(x)>1，∴4sin－1>1，∴sin>，∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ</x－≤kπ，k∈z，可得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈z，d正确．7．函数y＝cos的单调递减区间为__________．答案></t<2，则自然数k的值为________．答案>