高中数学复习专题：函数的图象

§2.7　函数的图象最新考纲考情考向分析1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.函数图象的辨析；函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以选择题为主，中档难度.　　　　　　　　　　　　　　　　　1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝－f(x)；②y＝f(x)y＝f(－x)；③y＝f(x)y＝－f(－x)；④y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．(3)伸缩变换①y＝f(x)y＝f(ax)．②y＝f(x)y＝af(x)．(4)翻折变换①y＝f(x)y＝|f(x)|.②y＝f(x)y＝f(|x|)．知识拓展1．关于对称的三个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　×　)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　×　)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)题组二　教材改编2．[P35例5(3)]函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案　C解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.3．[P58T1]函数y＝21－x的大致图象为(　　)答案　A解析　y＝21－x＝x－1，因为0<<1，所以y＝x－1为减函数，取x＝0，则y＝2，故选A.4．[P75A组T10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案　(－1,1]解析　在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三　易错自纠5．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)答案　C6．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．答案　f(－x＋1)解析　图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．答案>2(由于a<b，故取不到等号)，所以ab>4.题型一　作函数的图象作出下列函数的图象：(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解　(1)作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②实线部分．(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图③实线部分．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二　函数图象的辨识典例(1)(2017·湖北百所重点学校联考)函数y＝的图象大致是(　　)答案　D解析　从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)答案　B解析　方法一　由y＝f(x)的图象知，f(x)＝当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝故y＝－f(2－x)＝图象应为B.方法二　当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练(1)(2017·湖南长沙四县联考)函数f(x)＝的图象可能是(　　)答案　A解析　由题意知∴x>－2且x≠－1，故排除B，D，由f(1)＝>0可排除C，故选A.(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(　　)答案　B解析　y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图象是由y＝log2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．题型三　函数图象的应用命题点1　研究函数的性质典例(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案　C解析　(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)(2017·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.答案 9="">0.当x∈时，y＝cosx<0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1<x<时，<0.又函数y＝为偶函数，所以在[－4,0]上，<0的解集为，所以<0的解集为∪.命题点3>f(－x)－2x的解集是__________．答案　(－1,0)∪(1，]解析　由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．高考中的函数图象及应用问题考点分析　高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题典例1　(1)(2017·太原二模)函数f(x)＝的图象大致为(　　)(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝－1D．f(x)＝x－解析　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x＝1对称，排除B，C.取特殊值，当x＝时，f(x)＝2ln<0，故选D.(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.答案　(1)D　(2)A二、函数图象的变换问题典例2　若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)解析　由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．答案　C三、函数图象的应用典例3　(1)若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为(　　)A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(0,2)D．(1,2)答案　D解析　根据图象可知，函数图象过原点，即f(0)＝0，∴m≠0.当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，函数f(x)在[－1,1]上是单调递增的，∴f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，f′(x)＝＝>0，∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1,1]上恒成立，∴(x2－m)max<0，∴m>1，综上所述，1<m<2，故选d.(2)已知函数f(x)＝其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．答案　(3，＋∞)解析　如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m在(m，＋∞)上为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.1．函数f(x)＝的图象大致为(　　)答案　A解析　因为f(x)＝，所以f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，排除选项C，D；当0<x<π时，sinx>0，所以当0<x<π时，f(x)>0，排除选项B，故选A.2．函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　　)答案　C解析　由已知得a＝2，所以g(x)＝|log2(x＋1)|.函数y＝log2(x＋1)在(－1,0)上单调递增且y<0，在(0，＋∞)上单调递增且y>0，所以函数g(x)在(－1,0)上单调递减且g(x)>0，在(0，＋∞)上单调递增且g(x)>0，观察各选项，只有C符合．3．若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是(　　)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2答案　A解析　因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x)＝f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.4．已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　在平面直角坐标系内作出f(x)，g(x)的图象如图所示，由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝ex＋1B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案　D解析　与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)A．1B．2C．3D．0答案　B解析　作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．7.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f＝______.答案　2解析　∵由图象知f(3)＝1，∴＝1.∴f＝f(1)＝2.8．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________．答案　{x|x≤0或1<x≤2}解析>0C．f(x1)－f(x2)>0D．f(x1)－f(x2)<0答案　D解析　函数f(x)的图象如图实线部分所示，且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.14．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________________________．答案　∪解析　对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.作出f(x)的图象如图实线部分所示，观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.15．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是______．答案　[－2,1)解析　解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，所以f(x)＝函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．作出函数f(x)的图象如图所示，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.16．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m<2时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．</m<2时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t></x≤2}解析></x<π时，f(x)></x<π时，sinx></m<2，故选d.(2)已知函数f(x)＝其中m></x<时，<0.又函数y＝为偶函数，所以在[－4,0]上，<0的解集为，所以<0的解集为∪.命题点3></m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.答案></b，故取不到等号)，所以ab></a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．答案>