2023年新高考一轮复习讲义第26讲 三角函数的图象与性质（解析版）

第26讲　三角函数的图象与性质　学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，当时，即时，取最大值1，当，即时，取最小值大于，故值域为故选：C2．（2022·湖北·模拟预测）已知，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在上单调递减，又，所以，所以，即.故选：B.3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数单调递增的区间是（       ）A．B．C．D．【答案】D试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：因为，令，解得，所以函数的单调递增区间为，当时可得函数的一个单调递增区间为，因为Ü，所以函数在上单调递增；故选：D4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的最小正周期为，且其增区间为，对于函数，其最小正周期为，可得，则，由，解得，其中，所以，的单调递增区间为，所以，函数在上递减，在上不单调，在上递增，在上递减.故选：C5．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（       ）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.6．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ）A．1B．C．D．3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以.故选：A7．（2022·山东济南·三模）已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为(       )A．B．C．D．【答案】C【解析】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的图象：试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 f(x)在上有4个零点，则，故a的最大值为．故选：C．8．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在上单调递减，则的值是（       ）A．B．0C．D．【答案】A【解析】由在上单调递减可知是最小值由两条对称轴直线和可知也是对称轴且，为最小值故又，解得故选：A9．（多选）（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）设函数，则下列结论中正确的是（       ）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．在上的最小值为0【答案】ABC【解析】当时，，所以的图象关于点对称，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，在上单调递减，故C正确；当时，，在上的最小值为，D错误.故选：ABC10．（多选）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（       ）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【解析】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 切线方程为：即．故选：AD．11．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.【答案】（答案不唯一）【解析】由余弦函数性质知：为偶函数且为常数，又最小正周期为3，则，即，所以满足要求.故答案为：(答案不唯一)12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为______．【答案】【解析】对应的增区间应满足，解得，当时，，要使在上是增函数，则应满足，，解得，则的最大值是1故答案为：113．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．【答案】【解析】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有4个零点；③的最小值为；④的解集为.其中，所有正确结论的序号为___________.【答案】①②【解析】对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确；对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确；对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况.如图示，作出（）和的图像如图所示：在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误；对于④：当时，可化为：当时，，解得：；当时，，解得：；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 综上所述：的解集为.故④不正确.故答案为：①②15．（2021·浙江·高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.16．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知函数(1)求的值；(2)求函数在上的增区间和值域．【解】(1)解：因为，所以试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，即，所以(2)解：由（1）可得，因为，所以，所以，则，令，解得，即函数在上的单调递增区间为；17．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数.(1)求函数在上的单调增区间；(2)若，求的值.【解】(1)解：，，，，令，解得，所以的单调增区间为.令得区间为，所以在上的单调增区间为；(2)因为，所以，又，且，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，则所以.18．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.(1)求的解析式；(2)设函数，求在区间上的最大值.条件①：的最小正周期为；条件②：；条件③：图象的一条对称轴为.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【解】(1)选择条件①②：由条件①及已知得，所以.由条件②，即，解得.因为，所以，所以，经检验符合题意.选择条件①③：由条件①及已知得，所以．由条件③得，解得，因为，所以，所以．试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 若选择②③：由条件②，即，解得，因为，所以，由条件③得，∴，则的解析式不唯一，不合题意.(2)由题意得，化简得因为，所以，所以当，即时，的最大值为.【素养提升】1．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则表达式（       ）A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，无最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值【答案】D【解析】由，，易知.同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值，从而该式无最值.①取，（），则.对任意，由抽屉原理，存在，使得.再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）.则时，，从而，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，即证.②取，（），则.对任意，由抽屉原理，存在，使得.再考虑，使得（不取等的理由同上）.则时，，从而，，即证.故选：D2．（2022·天津·一模）已知函数，关于x的方程有以下结论①当时，方程在最多有3个不等实根；②当时，方程在内有两个不等实根；③若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为；④若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为.其中所有正确结论的序号是（       ）A．①③B．②④C．①④D．①②③【答案】A【解析】依题意，，，函数的值域为，由解得：，或（舍去），而，令，则方程的根是函数的图象与直线交点横坐标，作出函数在的图象与直线，如图，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，观察图象知，当时，，函数的图象与直线有3个交点，当时，，函数的图象与直线有2个交点，当时，，函数的图象与直线有1个交点，当时，，函数的图象与直线没有交点，所以当时，，函数的图象与直线的交点可能有3个、2个、1个、0个，①正确，②不正确；当时，函数在的图象与直线的交点个数为偶数，观察图象知，此时，，即直线与的图象在上各有两个交点，它们分别关于直线对称，这6个交点横坐标和即方程6个根的和为：，③正确，④不正确，所以所有正确结论的序号是①③.故选：A3．（多选）（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则（       ）A．函数的最小正周期为B．将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称C．函数在上为增函数D．设，则在内有20个极值点【答案】ABD【解析】根据题意可得，则，即，A正确；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 将函数的图像向左平移个单位长度得∵为奇函数，其图像关于原点对称，B正确；∵，则∴在上为减函数，C错误；，则∴为奇函数当时，，则令，则，即∴∵，即，则∴共10个则在内有20个极值点，D正确；故选：ABD．4．（多选）（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若，则下列说法正确的是（       ）A．的最小正周期是B．的对称轴方程为，C．存在实数，使得对任意的，都存在且，满足，D．若函数，，（是实常数），有奇数个零点，则【答案】AD【解析】由题设，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，故，由的最小正周期为，则的最小正周期为，同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A正确；对于，令，则对称轴方程为且，B错误；对任意有，，且满足且，而的图象如下：所以，则，所以或，无解，即不存在这样的a，C错误；由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，、、、、、、，，所以，D正确.故选：AD5．（多选）（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数，则（       ）A．函数的值域为B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数C．直线是函数的一条对称轴D．方程有且仅有一个实数根【答案】ABD【解析】显然，，即函数是偶函数，又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；当时，，的最小值为，最大值为，即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，，显然在单调递减，而，，于是得存在唯一，使得，因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，所以方程有且仅有一个实数根，D正确.故选：ABD6．（2022·辽宁葫芦岛·二模）设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；③，则___________.关于x的不等式的最小正整数解为___________.【答案】        2【解析】由①得：，则，①由②得：，则，②由②③得：，即，联立①②得：，因为，所以，解得：，，所以，所以，将代入得：，因为，所以，所以，，试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，则或，当，解得：，，，，当时，，故最小正整数为3，当，解得：，，，，当时，，故最小正整数为2，比较得到答案为2故答案为：，27．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知函数.(1)解不等式；(2)若，且的最小值是，求实数的值.【解】(1)∵由，得，解集为，(2)试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，，①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；②当时，当且仅当时，取最小值，由已知得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得，这与相矛盾.综上所述，.8．（2022·全国·高三专题练习）已知常数，定义在上的函数．（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；（2）当时，设集合，，若，求实数m的取值范围；（3）已知常数，，且函数在）内恰有2021个零点，求常数a及n的值．【解】（1）当时，，令，则，开口向下且对称轴为，，即时，，此时；（2）当时，，因为，则，因为，则，令令，则，开口向下，所以需满足，解得，故实数m的取值范围为；试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （3），令，则，所以，，所以有两个不同得实数根，又由韦达定理得，所以两根异号，①当一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，方程有偶数个根，不符合题意；②当两根绝对值均在之间，，在区间上均有偶数根，不合题意；③当时，若，，即，，即或，所以方程在上有三个根，因为，所以方程在上有2019个根，又因为方程在上只有1个根，又因为方程在上只有2个根，所以方程在有2020个根，在上有2022个根，不合题意；④当时，若，，即，，即或，所以方程在上有三个根，因为，所以方程在上有2019个根，又因为方程在上只有2个根，又因为方程在上只有1个根，所以方程在有2021个根，满足题意；综上：.试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第21页，共1页学科网（北京）股份有限公司