第四章　§4.5　三角函数的图象与性质

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§4.5　三角函数的图象与性质考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调递增区间[2kπ－π，2kπ]单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)对称轴方程x＝kπ＋x＝kπ成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减．(　×　)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　×　)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　×　)教材改编题1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2答案　A2．函数y＝－tan的单调递减区间为________．答案　(k∈Z)解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得＋<x<＋(k∈Z)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)．3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.答案　5　＋2kπ(k∈Z)解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z).题型一　三角函数的定义域和值域例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)A.B.(k∈Z)C.(k∈Z)D．R答案　C解析　由cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.(2)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________．答案　－4解析　∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－22＋，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．答案　成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，∴sinxcosx＝，且－≤t≤.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.∴函数y的值域为.思维升华　三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为答案　D解析　由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－22＋，所以当cosx＝时，f(x)取最大值.(2)函数y＝lgsinx＋的定义域为________________．答案　解析　要使函数有意义，则有即解得(k∈Z)，所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为.题型二　三角函数的周期性与对称性成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例2　(1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是(　　)A．图象关于点对称B．图象关于点对称C．图象关于直线x＝对称D．图象关于直线x＝对称答案　C解析　由题可得，设2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．设2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)，通过对比选项可知，f(x)的图象关于直线x＝对称．(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．答案　　，k∈Z解析　若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.∴f(x)＝3sin＋1＝3cos2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.思维升华　(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．跟踪训练2　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则 f 等于(　　)A．1B.C.D．3答案　A解析　因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3.因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，又2<ω<3，所以<ω＋<，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f(x)＝sin＋2，所以f ＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.(2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的最大值为B．f(x)的最小正周期为πC．f 为奇函数D．f(x)的图象关于直线x＝对称答案　ABD成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　因为函数f(x)＝sin，所以f(x)的最大值为，A正确；最小正周期T＝＝π，B正确；f ＝sin＝sin＝－cos2x为偶函数，C错误；f(x)的对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故D正确．题型三　三角函数的单调性命题点1　求三角函数的单调区间例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．答案　，k∈Z解析　f(x)＝sin的单调递减区间是f(x)＝sin的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.延伸探究　若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间．解　令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝∪，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.命题点2　根据单调性求参数例4　(1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　)A.B.C.D.π答案　A成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　函数f(x)＝cos的单调递增区间为(k∈Z)，而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，所以⇒a≤，于是0<a≤，即a的最大值为.(2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．答案　解析　f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω>0)．由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．由题知，⊆，∴∴6k－≤ω≤4k＋，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，－≤ω≤，∴0<ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，∴ωmax＝.思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3　(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)A．f(x)在上单调递减成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增答案　C解析　依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos2x在上不单调，所以D选项不正确．故选C.(2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　∵x∈，∴ω－≤ωx－≤ω－，由于函数f(x)在上单调递增，∴(k∈Z)，解得(k∈Z)，故k只能取0，即0<ω≤1，∴“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的充分不必要条件．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解　(1)f(x)＝cosxsinx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，∴函数f(x)的最小正周期为＝π，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵x∈，∴2x－∈，则sin∈[－1,1]，∴f(x)∈，∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.10．(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋f ，求g(x)在区间上的最大值．条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)选择条件①②：由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.由条件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin2x.经检验φ＝0符合题意．选择条件①③：成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线答案　AD解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin.对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确；对于C，因为f ＝sin＝sin3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．13．(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________.答案　2sin(答案不唯一)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称；对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4，ω＝，又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一．14．(2023·唐山模拟)已知sinx＋cosy＝，则sinx－sin2y的最大值为________．答案　解析　∵sinx＋cosy＝，sinx∈[－1,1]，∴sinx＝－cosy∈[－1,1]，∴cosy∈，即cosy∈，∵sinx－sin2y＝－cosy－(1－cos2y)＝cos2y－cosy－＝2－1，又cosy∈，利用二次函数的性质知，当cosy＝－时，(sinx－sin2y)max＝2－1＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期15．已知函数f(x)＝＋3sinπx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　)A．2B．4C．2πD．4π答案　B解析　令f(x)＝＋3sinπx＝0，则＝－3sinπx，所以f(x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sinπx图象交点的横坐标，因为y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝－3sinπx的周期为2，其图象关于点(1,0)对称，两函数图象如图所示，共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.16．(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sinx＋|cosx|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________．答案　　解析　当x∈，k∈Z时，f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，当x∈，k∈Z时，f(x)＝sinx－cosx＝2sin，令－≤x＋≤，则－≤x≤，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以函数f(x)的一个单调递增区间为.f(x)＝则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f ＝1，令－≤x－≤，则－≤x≤，所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]．令≤x－≤，则≤x≤，所以函数f(x)在上单调递减，当x∈时，令f(x)＝1，则x＝，因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，所以≤a≤.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期