2025年高考数学一轮讲义第1章 第5课时　一元二次方程、不等式

第5课时　一元二次方程、不等式[考试要求]　1．能从实际情景中抽象出一元二次不等式.2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集__________________________xx≠-b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________________提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．[常用结论]1．分式不等式的解法(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔fxgx≥0≤0，gx≠0．2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集5/5 为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定．(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c>0或a>0，Δ<0．(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a=b=0，c<0或a<0，Δ<0．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0．(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2．(　　)(3)x-ax-b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0．(　　)(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(　　)A．{x|x<1}　　　　　　B．{x|x>3}C．{x|x<1或x>3}　D．{x|1<x<3}2．(人教A版必修第一册P55习题2.3T3改编)已知集合A＝{x|x2≤25}，B＝xx+1x-7≥0，则A∩B＝(　　)A．(－∞，－5]　B．[－5，－1)C．[－5，－1]∪[5，7)　D．[－5，－1]3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．4．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求花卉带的宽度相同且草坪面积不超过总面积的23，那么花卉带的宽度的取值范围是________(单位：m)．5/5 考点一　一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系[典例1]　(1)(2024·东北师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则不等式ax+cbx-c≤0的解集为________．(2)不等式0<x2－x－2≤4的解集为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．[跟进训练]1．(多选)(2024·四川南充模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　　)A．a<0B．ax＋c>0的解集为xx<6C．8a＋4b＋3c<0D．cx2＋bx＋a<0的解集为x-12<x<13考点二　含参数的一元二次不等式的解法[典例2]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　解含参数的一元二次不等式的步骤[跟进训练]2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　一元二次不等式恒成立问题[典例3]　(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，2]　　　　　B．(－∞，－2)C．(－2，2)　D．(－2，2](2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．(3)若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　恒成立问题求参数的取值范围的解题策略5/5 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．[跟进训练]3．(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　)A．a≤2　　　　　　B．a≥2C．a≤52　D．a≥52(2)若不等式sin2x－asinx＋2≥0对任意的x∈0，π2恒成立，则实数a的取值范围是________．5/5