2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5一元二次方程、不等式第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象 方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根不等式的解集_________________{x|x≠－}R{x|x<x1，或x>x2} 2.分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)⇔；(2)≥0(≤0)⇔.3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为，|x|<a(a>0)的解集为.f(x)g(x)>0(<0)f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－a，a) 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.()(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.()×√×× A.∅B.(2,3)C.(－∞，2)∪(3，＋∞)D.(－∞，＋∞)√ 2.已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为A.1B.2C.－1D.－2√因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2. 3.已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.[1,3]∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 探究核心题型第二部分 题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参数的不等式例1(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是√ (2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是A.a>0B.不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}C.a＋b＋c>0√√√ ∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0， 不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0.命题点2含参数的一元二次不等式例2已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集. 不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0， 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华 跟踪训练1解关于x的不等式. (2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3. 移项得mx2－(m＋2)x＋2<0， 当m＝2时，原不等式的解集为空集； 题型二一元二次不等式恒成立问题当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；命题点1在R上恒成立问题例3(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是A.0B.－24C.－20D.－2√√√于是－24<k≤0，故选ACD. 命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为___________. 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立， 命题点3在给定参数范围内的恒成立问题例5(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是A.[－1,3]B.(－∞，－1]C.[3，＋∞)D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)√ 不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，解得x<－1或x>3. 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 跟踪训练2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是A.{a|a<－2或a≥2}B.{a|－2<a<2}C.{a|－2<a≤2}D.{a|a<2}√ 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}. (2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则A.a≤2B.a≥2√由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解， 课时精练第三部分 1.(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有A.x2＋x－2>0B.－x2＋x－2>0C.－x2＋x－2<0D.2x2－3x＋2>01234567891011121314基础保分练√√ 1234567891011121314对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为∅；对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R. 2.已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是A.－1<a<2B.a≥1C.a<－1D.－1≤a<2当a＝－1时，3>0成立；√解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2.1234567891011121314 3.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为1234567891011121314C.{x|－2<x<1}D.{x|x<－2或x>1}√ 1234567891011121314因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，解得a＝－1，b＝1，则不等式可化为2x2＋x－1<0， 12345678910111213144.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<βC.m<α<β<nD.α<m<β<n√ 1234567891011121314∵α，β为方程y＝0的两个实数根，∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象与x轴交点的横坐标，令y1＝(x－m)(x－n)，∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标，易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2023个单位长度得到，∴m<α<β<n. 1234567891011121314A.(1，a)B.(－∞，1)∪(a，＋∞)C.(－∞，a)∪(1，＋∞)D.∅√√√ 1234567891011121314当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；当a＝0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>1或x<a；当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>a或x<1. 12345678910111213146.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是A.4B.5C.6D.7√√ 1234567891011121314画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合， 7.不等式>x的解集是__________________.1234567891011121314(－∞，－1)∪(1,5) 1234567891011121314所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5). 8.(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为_____.1234567891011121314－4 ∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，1234567891011121314∴a≥－4，故a的最小值为－4. 9.已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；1234567891011121314 1234567891011121314选①：故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3).选②：x2－2x－3<0，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)， 1234567891011121314m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3).选③：|x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3). 1234567891011121314(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 1234567891011121314由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3).由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，解得B＝(m，m＋1)，因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，故m的取值范围为[－1,2]. 10.已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；1234567891011121314 1234567891011121314∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 1234567891011121314(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1. 1234567891011121314所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}； 1234567891011121314 11.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是A.－1B.0C.1D.31234567891011121314综合提升练√√ ∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，①当x＝0时，a∈R；②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤51234567891011121314∴1≤a≤4，综上，1≤a≤4. 12.关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m<n)，有下列四个结论：甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.如果只有一个假命题，则假命题是A.甲B.乙C.丙D.丁1234567891011121314√ 假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意.1234567891011121314 13.下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}.参考上述解法，解答问题：1234567891011121314拓展冲刺练 1234567891011121314√ 1234567891011121314 14.已知0<θ<，若cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________.1234567891011121314 ∵cos2θ＋2msinθ－2m－2<0，∴1－sin2θ＋2msinθ－2m－2＝－sin2θ＋2msinθ－2m－1<0.设x＝sinθ(0<x<1)，f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立.当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，1234567891011121314当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0， 1234567891011121314当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.