第一章　§1.5　一元二次方程、不等式

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§1.5　一元二次方程、不等式考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根不等式的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－}R2．分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期教材改编题1．不等式<0的解集为(　　)A．∅B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案　B解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)A．1B．2C．－1D．－2答案　B解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　[1,3]解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.题型一　一元二次不等式的解法命题点1　不含参数的不等式例1　(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)A.B.C．(－∞，0)∪D．(－∞，0)∪答案　D解析　原不等式等价于即x<且x≠0，故选D.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}C．a＋b＋c>0D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪答案　ABD解析　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．命题点2　含参数的一元二次不等式例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．解　(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0.因为f(x)<0的解集是，所以a>0且－＝－，解得a＝3.(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为；当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅；当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.综上所述，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当－<a<0时，原不等式的解集为；当a＝－时，原不等式的解集为∅；当a<－时，原不等式的解集为.思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1　解关于x的不等式．(1)>1；(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.解　(1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－.所以不等式的解集为.(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1，当0<m<2时，>1，解得1<x<；当m＝2时，＝1，原不等式无解；当m>2时，<1，解得<x<1.综上所述，当0<m<2时，原不等式的解集为；当m＝2时，原不等式的解集为空集；当m>2时，原不等式的解集为.题型二　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上恒成立问题例3　(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)A．0B．－24C．－20D．－2成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题例5　(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案　D解析　不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得解得x<－1或x>3.思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2　(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|a<－2或a≥2}B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2}D．{a|a<2}答案　C解析　因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，需满足解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}．(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　)A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≥答案　C成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤max，由于＝x＋，而y＝x＋在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≤.课时精练1．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)A．x2＋x－2>0B．－x2＋x－2>0C．－x2＋x－2<0D．2x2－3x＋2>0答案　CD解析　对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为∅；对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．－1<a<2B．a≥1C．a<－1D．－1≤a<2答案　D解析　当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解得x>a或x<1.6．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　)A．4B．5C．6D．7答案　AB解析　画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.7．不等式>x的解集是________．答案　(－∞，－1)∪(1,5)解析　不等式>x化为以下两个不等式组或解即解得x<－1，解即解得1<x<5，所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)．8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．答案　－4解析　∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－恒成立，又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－≤－4，∴a≥－4，故a的最小值为－4.9．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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