2024年新高考数学一轮复习：第05讲 一元二次不等式（解析版）

第05讲一元二次不等式及简单不等式的解法1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔3、．简单分式不等式(1)≥0⇔(2)>0⇔f(x)g(x)>01、【2020年新课标1卷理科】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（       ）A．–4B．–2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】 由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.2、【2020年新课标1卷文科】已知集合则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.3、【2019年新课标1卷理科】已知集合，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】 由题意得，，则．故选C．1、不等式x2＋2x－3<0的解集为(　　)A．{x|x<－3或x>1}B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1<x<3}D．{x|－3<x<1}【答案】D【解析】　由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D.2、关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　)A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】；关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，3、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)A．m>B．m<C．m<1D．m>1【答案】：A【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.4、不等式的解集是___________．【答案】【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可 考向一　一元二次不等式及简单不等式的解法例1(1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　)A.B.C.(－∞，－1)∪D.∪(1，＋∞)【答案】　C【解析】　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即(x＋1)(2x－3)＞0，∴x＜－1或x＞.(2)不等式≥0的解集为(　　)A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)【答案】B【解析】　原不等式化为即解得－2＜x≤1.(3)不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.【答案】　[－2，－1)∪(2，3]【解析】由题意得故即－2≤x＜－1或2＜x≤3.故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3].变式1、求不等式的解集：－x2＋8x－3>0；【答案】-12,1【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}. 方法总结：解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).求出对应的一元二次方程的根.(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考向二分式等不等式的解法例2　求关于x的不等式≤0的解集．【答案】{x|1≤x<3}变式1、解下列关于x的不等式．(1)lg2x－2lgx－3<0；(2)2x2－2x－3>1；(3)4x－2x－2<0.【解析】(1)令lgx＝t，则原不等式可化为t2－2t－3<0，解得－1<t<3，即－1<lgx<3，解得<x<1000，所以原不等式的解集为.(2)由2x2－2x－3>1，得2x2－2x－3>20，所以x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．(3)令2x＝t(t>0)，则原不等式可化为t2－t－2<0，所以解得0<t<2，即0<2x<2，解得x<1，所以原不等式的解集为{x|x<1}．变式2、　解下列关于x的不等式．(1)lg2x－2algx－3a2<0；(2)4x－a·2x－2a2>0.【解析】(1)当a<0时，不等式的解集为{x|103a<x<10－a}；当a＝0时，不等式的解集为空集；当a>0时，不等式的解集为{x|10－a<x<103a}．(2)当a<0时，不等式的解集为{x|x>log2(－a)}； 当a＝0时，不等式的解集为R；当a>0时，不等式的解集为{x|x>log2(2a)}．方法总结：分式不等式的解法：第一步：对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组).＜0⇔(x－a)(x－b)<0；≥0⇔≤0⇔第二步：利用一元二次不等式求解．考向三含参不等式的讨论例2、(1)解关于实数的不等式：．(2)解关于实数的不等式：．【解析】（1）由得，∴，①当时，的解集为，②当时，的解集为，③当时，的解集为．（2）对方程，当即时不等式的解集为当即或时的根为不等式的解集为变式、解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).【解析】　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}；当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；考向四恒成立问题例4　(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0恒成立，则实数k的取值范围是(　　)A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)【解析】因为2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，所以k≠0.又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3<k<0.【答案】D(2)设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则实数a的取值范围是(　　)A.(0，4)B.[0，4)C.(0，＋∞)D.(－∞，4)【解析】对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则或a＝0，所以0≤a<4.【答案】B(3)设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在区间[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 解得m<，所以0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在区间[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，解得m<6，所以m<0.综上，实数m的取值范围是.方法总结：1.一元二次不等式在R上恒成立的条件：不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0　　2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a.3.一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解1、(2022·江苏苏州市第十中学10月月考)已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.【答案】或【解析】因为不等式的解集为，所以a<0且2和4是的两根.所以可得：，所以可化为：，因为a<0，所以 可化为，即，解得：或，所以不等式的解集为或.故答案为：或.2、（2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考）若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（）A.-1，-7B.0，-8C.1，-1D.1，-7【答案】D【解析】的解集为，，1是方程的根，且，，，，则二次函数开口向下，对称轴，在区间上，当时，函数取得最大值1，当时，函数取得最小值.故选：D．3、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a＜D．a≥0【答案】BD【解析】由题意可知，关于x的不等式x2－2ax＋a＞0恒成立，则D＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，对于选项A，“0＜a＜1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对"x∈R恒成立”的充要条件；对于选项B，“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对"x∈R恒成立”的必要不充分条件；对于选项C，“0＜a＜”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对"x∈R恒成立”的充分不必要条件对于选项D中，“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对"x∈R恒成立”必要不充分条件，故答案选BD．4、关于的不等式（）的解集为， 且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵由()，得，即，∴，∵，∴．故选A．5、已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得6、函数f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围．【解析】(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2].(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a，当g(x)≥0时，分如下三种情况讨论：①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2，符合题意；②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，则即解得所以a无解；③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，则即解得所以－7≤a≤－6.综上所述，实数a的取值范围是[－7，2]. 图1图2图3(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.因为当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，所以即解得x≤－3－或x≥－3＋，所以当x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)时，对任意的a∈[4，6]，f(x)≥0恒成立．