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2023版新高考数学一轮总复习第1章第5讲一元二次不等式及其解法课件
2023版新高考数学一轮总复习第1章第5讲一元二次不等式及其解法课件
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第一章集合、常用逻辑用语、不等式\n第5讲一元二次不等式及其解法\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数_______零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).(2)计算相应的_________.(3)当_______时,求出相应的一元二次方程的根.(4)利用二次函数的图象与x轴的_______确定一元二次不等式的解集.大于判别式Δ≥0交点\n知识点二 三个二次之间的关系\n两相异两相等没有x>x2或x<x1x≠x1Rx1<x<x2∅∅\n1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是:a>0且b2-4ac<0(x∈R).2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是:a<0且b2-4ac<0(x∈R).注意:在题目中没有指明不等式为二次不等式时,若二次项系数中含有参数,应先对二次项系数为0的情况进行分析,检验此时是否符合条件.\n\n5.简单的指数与对数不等式的解法(1)若a>1,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x);若0<a<1,af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x).(2)若a>1,logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0;若0<a<1,logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x).\n题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式(x+1)(2-x)<0的解集为(-1,2).()(2)若关于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2,且a<0.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()×××\n√×\nB\n3.(必修1P55T3改编)已知集合A={x|x2-x-6>0},则∁RA等于()A.{x|-2<x<3}B.{x|-2≤x≤3}C.{x|x<-2}∪{x|x>3}D.{x|x≤-2}∪{x|x≥3}[解析]∵x2-x-6>0,∴(x+2)(x-3)>0,∴x>3或x<-2,即A={x|x>3或x<-2}.在数轴上表示出集合A,如图所示.由图可得∁RA={x|-2≤x≤3}.故选B.B\n4.(必修1P55T2改编)y=log2(3x2-2x-2)的定义域是__________________________________.\n题组三 走向高考5.(2019·天津高考)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围是________.\n考点突破·互动探究\n角度1不含参数的不等式解下列不等式(1)-2x2+x+3<0;(2)x2-2x+2>0.[分析](1)将二次项系数化为正数,变为2x2-x-3>0,求方程2x2-x-3=0的根,若无根,则解集为R,若有根,则按“小于取中间,大于取两边”写出解集.例1考点一一元二次不等式的解法——多维探究\n\n解一元二次不等式的一般步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式.(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.\n角度2含参数的不等式解下列关于x的不等式:(1)ax2-(a+1)x+1<0(a<0);(2)x2-2ax+2≤0(a∈R);例2\n\n\n[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢?\n[引申2]若再改为a∈R呢?再增加a=0情况.\n含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数,若判别式Δ≥0,可先考虑分解因式,再对根的大小分类讨论(分点由x1=x2确定);若不易分解因式,可考虑求根公式,以便写出解集,若Δ<0,则结合二次函数图象写出解集,若判别式符号不能确定,则需对判别式分类讨论(分点由Δ=0确定).(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后讨论二次项系数大于零、小于零,以便确定解集形式.\n(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解,要注意分母不能为零.(4)解简单的指数、对数不等式时,若底含有参数,则需对其是否大于1分类求解,注意对数的真数必须为正.\n〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B等于()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}(2)(角度2)解不等式x2-(a+1)x+a<0(a∈R)[解析](1)∵A={x|x2-3x-4<0}={x|(x+1)(x-4)<0}={x|-1<x<4},B={-4,1,3,5},∴A∩B={1,3}.D\n(2)由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,∴x1=a,x2=1,①当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1<x<a},②当a=1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为∅,③当a<1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|a<x<1}.\n例3考点二三个二次间的关系——师生共研B\nA\n[分析](1)利用根与系数的关系求解.(2)令f(x)=x2+ax-2,Δ=a2+8>0恒成立,又两根之积为负值,所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0,于是得解;思路二:“正难则反”,求x2+ax-2≤0在区间[1,5]上恒成立的a的取值集合,只需f(5)≤0,再求其补集即可;思路三:分离参数.\n\n\n\n[引申]若不等式x2+ax-2<0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是____________.(-∞,1)\n已知不等式的解集,等于知道了与之对应方程的根,此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围,为简化讨论注意数形结合,如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0,-2).\nA\n(2)(2022·九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C.(-6,+∞)D.(-∞,-6)A\n\n\n(2)解法一:由函数f(x)=x2-4x-2-a图象的对称轴为x=2.∴不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0,即a<-2,故选A.解法二:(分离参数法)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.故选A.\n已知f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围;(3)若对于|m|≤1,f(x)<0恒成立,求实数x的取值范围.[分析](1)二次项系数含有字母m,应分m=0和m≠0讨论求解;(2)数形结合,分类讨论;(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式,根据一次函数的性质求解.例4考点三一元二次不等式恒成立问题——师生共研\n\n\n\n\n\n2.在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m,n],f(x)=ax2+bx+c≥0恒成立,结合图象,只需f(x)min≥0即可;(2)当x∈[m,n],f(x)=ax2+bx+c≤0恒成立,只需f(x)max≤0即可.3.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.\n\n〔变式训练3〕(1)若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a取值的集合为()A.(-∞,3)B.(-1,3)C.[-1,3]D.(-1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立,则有()A.m≤-3B.m≥-3C.-3≤m<0D.m≥-4DA\n(3)已知对于任意的a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围是()A.{x|1<x<3}B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}B\n\n名师讲坛·素养提升\n一元二次方程根的分布情况设方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ>0)有不相等的两根为x1,x2,且x1<x2,相应的二次函数为f(x)=ax2+bx+c,方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).\n表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)\n\n\n\n\n表二:(两根与k的大小比较)\n\n\n\n\n表三:(根在区间上的分布)\n\n\n\n\n根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间(m,n)外,即在区间两侧x1<m,x2>n,(图形分别如下)需满足的条件是\n\n\n若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0,分别满足下列条件时,求m的取值范围.(1)一根在(1,2)内,另一根在(-1,0)内;(2)一根在(-1,1),另一根不在(-1,1)内;(3)一根小于1,另一根大于2;(4)一根大于-1,另一根小于-1;(5)两根都在区间(-1,3);(6)两根都大于0;(7)两根都小于1;(8)在(1,2)内有解.例5\n\n\n\n\n\n\n\n〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是___________.(2)若方程x2+(k+2)x-k=0的两实根均在区间(-1,1)内,则k的取值范围为_________________.(-2,1)\n
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-06-24 16:00:03
页数:83
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文章作者:随遇而安
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