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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第7篇 第2讲 一元二次不等式及其解法限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第7篇 第2讲 一元二次不等式及其解法限时训练 理
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第2讲 一元二次不等式及其解法分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·南通二模)已知f(x)=则不等式f(x)<f(4)的解集为( ). A.{x|x≥4}B.{x|x<4}C.{x|-3<x<0}D.{x|x<-3}解析 f(4)==2,不等式即为f(x)<2.当x≥0时,由<2,得0≤x<4;当x<0时,由-x2+3x<2,得x<1或x>2,因此x<0.综上,x<4.故f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}.答案 B2.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是( ).A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析 不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,只需Δ=a2-16>0,∴a<-4或a>4,故选D.答案 D3.设a>0,不等式-c<ax+b<c的解集是{x|-2<x<1},则a∶b∶c=( ).A.1∶2∶3B.2∶1∶3C.3∶1∶2D.3∶2∶1解析 ∵-c<ax+b<c,又a>0,∴-<x<.∵不等式的解集为{x|-2<x<1},∴∴∴a∶b∶c=a∶∶=2∶1∶3.答案 B4.(2022·莆田二模)不等式(x2-2)log2x>0的解集是( ).A.(0,1)∪(,+∞)B.(-,1)∪(,+∞)C.(,+∞)D.(-,)5\n解析 原不等式等价于或∴x>或0<x<1,即不等式的解集为(0,1)∪(,+∞).答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为,则不等式-cx2+2x-a>0的解集为________.解析 由ax2+2x+c>0的解集为知a<0,且-,为方程ax2+2x+c=0的两个根,由根与系数的关系得-+=-,-×=,解得a=-12,c=2,∴-cx2+2x-a>0,即2x2-2x-12<0,其解集为(-2,3).答案 (-2,3)6.(2022·浙江)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________.解析 显然a=1不能使原不等式对x>0恒成立,故a≠1且当x1=,a≠1时原不等式成立.对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x2<x3,易知x2<0,x3>0.当x>0时,原不等式恒成立,故x1=满足方程x2-ax-1=0,代入解得a=或a=0(舍去).答案 三、解答题(共25分)7.(12分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.解 (1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得解得(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式的解集为∅.8.(13分)(2022·浙江卷)设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.5\n(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.注 e为自然对数的底数.解 (1)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0,所以f′(x)=-2x+a=-.由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞).(2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2,对x∈[1,e]恒成立,只要解得a=e.分层B级 创新能力提升1.(2022·长沙模拟)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>1的解集为( ). A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)解析 ∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点,又f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则f(-2)f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0,∴-<a<-,又a∈Z,∴a=-1,不等式f(x)>1即为-x2-x>0,解得-1<x<0.答案 C2.(2022·南通期末)若不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立,则关于t的不等式a2t+1<at2+2t-3<1的解集为( ).A.(1,2)B.(-2,1)C.(-2,2)D.(-3,2)解析 若不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立,则Δ=4a2-4a<0,所以0<a<1.又a2t+1<at2+2t-3<1,则2t+1>t2+2t-3>0,即所以1<t<2.答案 A3.在实数集上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.解析 由题意知(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x2+x+a2-a.故-x2+x+a2-a<1对任意x∈R都成立.5\n即-x2+x<-a2+a+1对任意x∈R都成立.而-x2+x=-2+≤,只需-a2+a+1>即可,即4a2-4a-3<0,解得-<a<.答案 4.(2022·大同一模)已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是________.解析 依题意,f(x)的对称轴为x=1,且开口向下,∴当x∈[-1,1]时,f(x)是增函数.若f(x)>0恒成立,则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0,∴b>2或b<-1.答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)5.已知f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实数m,使得f(m-sinx)≤f对定义域内的一切实数x均成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.思维启迪:不等式和函数的结合,往往要利用函数的单调性和函数的值域.解 假设实数m存在,依题意,可得即因为sinx的最小值为-1,且-(sinx-)2的最大值为0,要满足题意,必须有解得m=-或≤m≤3.所以实数m的取值范围是∪.探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需m≤f(x)min.6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;(2)若a>0,且0<x<m<n<,比较f(x)与m的大小.解 (1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),当m=-1,n=2时,不等式F(x)>0,即a(x+1)(x-2)>0.5\n当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.(2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1),∵a>0,且0<x<m<n<,∴x-m<0,1-an+ax>0.∴f(x)-m<0,即f(x)<m.5
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:26
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文章作者:U-336598
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