【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第7篇 第1讲 不等关系与不等式限时训练 理

第1讲　不等关系与不等式分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·浙江)若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的(　　)．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　当0<ab<1时，若b>0，则有a<；若b<0，则a<0，从而有b>.故“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件．反之，取b＝1，a＝－2，则有a<或b>，但ab<0.故选A.　答案　A2．(2022·保定模拟)已知a>b，则下列不等式成立的是(　　)．A．a2－b2≥0B．ac>bcC．|a|>|b|D．2a>2b解析　A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D.答案　D3．(2022·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析　运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案　C4．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　)．A．ab>acB．c(b－a)>0C．cb2<ab2D．ac(a－c)<0解析　由题意知c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．5\n答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．解析　由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.答案　(－π，0)6．(2022·南昌一模)现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．解析　因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．答案　2三、解答题(共25分)7．(12分)比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x2－x＋1与2x2＋x－1；(2)当a>0，b>0且a≠b时，aabb与abba.解　(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.(2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b.当a>b，即a－b>0，>1时，a－b>1，∴aabb>abba.当a<b，即a－b<0,0<<1时，a－b>1，∴aabb>abba.∴当a>0，b>0且a≠b时，aabb>abba.8．(13分)已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．解　由题意，得解得所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．5\n因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.两式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范围是[－1,20]．分层B级　创新能力提升1．(2022·黄山模拟)已知ab≠0，那么＞1是＜1的(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析　＞1，即＞0，所以a＞b＞0，或a＜b＜0，此时＜1成立；反之＜1，所以＞0，即a＞b，a＞0或a＜0，a＜b，此时不能得出＞1.答案　A2．(2022·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0时，则2b－a＝b>0，但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，∴甲是乙的充分不必要条件．5\n答案　A3．(2022·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．解析　∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)<f(－β)＝－f(β)，f(β)<f(－γ)＝－f(γ)，f(γ)<f(－α)＝－f(α)，以上三式相加得：2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]<0，即f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.答案　f(α)＋f(β)＋f(γ)<04．(2022·南京一模)给出下列四个命题：①若a>b>0，则>；②若a>b>0，则a－>b－；③若a>b>0，则>；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.其中正确命题的序号是________．解析　①作差可得－＝，而a>b>0，则<0，此式错误．②a>b>0，则<，进而可得－>－，所以可得a－>b－正确．③－＝＝＝<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．答案　②5．已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0.(1)求证：＞；(2)求的取值范围．(1)证明　∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c＝0　∴a＞0.5\n3c＜a＋b＋c＝0　∴c＜0.∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴＜，又∵c＜0，∴＞.(2)解　由a＋b＋c＝0，得b＝－a－c，又a＞b＞c，∴a＞－a－c＞c，∴即又∵a＞0，c＜0，∴－2＜＜－.6．(2022·安徽)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明　(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.5