【创新设计】（浙江专用）2022届高考数学总复习 第7篇 第4讲 基本不等式限时训练 理

第4讲　基本不等式分层A级　基础达标演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①y＝x＋；②y＝sinx＋(0<x<π)；③y＝ex＋4e－x；④y＝log3x＋4logx3.A．4B．3C．2D．1解析　①中，由于x的符号不确定，故不满足条件；②中，0<sinx≤1，而应用基本不等式时等号成立的条件为sinx＝2，故不满足条件；③正确；④中log3x，logx3的符号不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件．答案　D2．若lgx＋lgy＝2，则＋的最小值是(　　)．A.B.C.D．2解析　∵lgx＋lgy＝lgxy＝2，∴xy＝100，∴＋≥2＝.答案　B3．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)．A.B.C.D.解析　∵0＜x＜1，∴1－x＞0.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当x＝1－x，即x＝时取等号．答案　B6\n4．函数y＝(x>1)的最小值是(　　)．A．2＋2B．2－2C．2D．2解析　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．答案　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·黄冈二模)若a，b是正数，则，，，这四个数的大小顺序是________．解析　∵a，b是正数，∴≤≤，而≤，又a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴≤.故≤≤≤.答案　≤≤≤6．(2022·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案　5　86\n三、解答题(共25分)7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；　(2)x＋y的最小值．解　∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解　(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.分层B级　创新能力提升1．(2022·韶关一模)当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．3B．56\nC．1D．7解析　由x＋3y－2＝0得3y＝－x＋2，∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1＝3x＋＋1≥2＋1＝7.当且仅当3x＝，即x＝1时取得等号．答案　D2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)．A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解析　∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案　D3．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析　由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，则ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0⇔(－3)(＋1)≥0⇒≥3，∴ab≥9.答案　[9，＋∞)4．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________．解析　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0<t＝xy≤2＝.由f(t)＝t＋在上单调递减，故当t＝时f(t6\n)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时，z有最小值.答案　5．设f(x)＝(x>0)．(1)求f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋.(1)解　f(x)＝＝≤＝2，当且仅当x＝时，即x＝2时，等号成立．所以f(x)的最大值为2.(2)证明　b2－3b＋＝2＋3，当b＝时，b2－3b＋有最小值3，由(1)知，f(a)有最大值2，∴对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋.6.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．(1)试用x表示S；(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．解　(1)由图形知，3a＋6＝x，∴a＝.则总面积S＝·a＋2a＝a＝＝1832－，6\n即S＝1832－(x＞0)．(2)由S＝1832－，得S≤1832－2＝1832－2×240＝1352(平方米)．当且仅当＝，此时，x＝45.即当x为45米时，S最大，且S最大值为1352平方米.6