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【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第7篇 第4讲 基本不等式限时训练 理
【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第7篇 第4讲 基本不等式限时训练 理
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第4讲 基本不等式分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·宁波模拟)下列函数中,最小值为4的个数为( ). ①y=x+;②y=sinx+(0<x<π);③y=ex+4e-x;④y=log3x+4logx3.A.4B.3C.2D.1解析 ①中,由于x的符号不确定,故不满足条件;②中,0<sinx≤1,而应用基本不等式时等号成立的条件为sinx=2,故不满足条件;③正确;④中log3x,logx3的符号不确定,故不满足条件,综上只有③满足条件.答案 D2.若lgx+lgy=2,则+的最小值是( ).A.B.C.D.2解析 ∵lgx+lgy=lgxy=2,∴xy=100,∴+≥2=.答案 B3.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( ).A.B.C.D.解析 ∵0<x<1,∴1-x>0.∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.当x=1-x,即x=时取等号.答案 B6\n4.函数y=(x>1)的最小值是( ).A.2+2B.2-2C.2D.2解析 ∵x>1,∴x-1>0,∴y====(x-1)++2≥2+2.当且仅当x-1=,即x=+1时取等号.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·黄冈二模)若a,b是正数,则,,,这四个数的大小顺序是________.解析 ∵a,b是正数,∴≤≤,而≤,又a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤.故≤≤≤.答案 ≤≤≤6.(2022·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.解析 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案 5 86\n三、解答题(共25分)7.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,∴x+y=(x+y)·1=(x+y)=10++≥10+8=18.故x+y的最小值为18.8.(13分)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.(1)求u=lgx+lgy的最大值;(2)求+的最小值.解 (1)∵x>0,y>0,∴由基本不等式,得2x+5y≥2.∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.∴u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.∴当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)∵x>0,y>0,∴+=·=≥=,当且仅当=时,等号成立.由解得∴+的最小值为.分层B级 创新能力提升1.(2022·韶关一模)当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为( ). A.3B.56\nC.1D.7解析 由x+3y-2=0得3y=-x+2,∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1=3x++1≥2+1=7.当且仅当3x=,即x=1时取得等号.答案 D2.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ).A.(-∞,-2]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)解析 ∵x>0,y>0且+=1,∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=4,y=2时取等号,∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,即8>m2+2m,解得-4<m<2.答案 D3.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2,则ab=a+b+3≥2+3,即ab-2-3≥0⇔(-3)(+1)≥0⇒≥3,∴ab≥9.答案 [9,+∞)4.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为________.解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,则0<t=xy≤2=.由f(t)=t+在上单调递减,故当t=时f(t6\n)=t+有最小值,所以当x=y=时,z有最小值.答案 5.设f(x)=(x>0).(1)求f(x)的最大值;(2)证明:对任意实数a,b,恒有f(a)<b2-3b+.(1)解 f(x)==≤=2,当且仅当x=时,即x=2时,等号成立.所以f(x)的最大值为2.(2)证明 b2-3b+=2+3,当b=时,b2-3b+有最小值3,由(1)知,f(a)有最大值2,∴对任意实数a,b,恒有f(a)<b2-3b+.6.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为2米,如图,设池塘所占的总面积为S平方米.(1)试用x表示S;(2)当x取何值时,才能使得S最大?并求出S的最大值.解 (1)由图形知,3a+6=x,∴a=.则总面积S=·a+2a=a==1832-,6\n即S=1832-(x>0).(2)由S=1832-,得S≤1832-2=1832-2×240=1352(平方米).当且仅当=,此时,x=45.即当x为45米时,S最大,且S最大值为1352平方米.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:32:25
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文章作者:U-336598
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