2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第1章　§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5　一元二次方程、不等式考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根不等式的解集{x|x≠－}R2．分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)⇔；(2)≥0(≤0)⇔.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为，|x|<a(a>0)的解集为．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　)(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　)4 教材改编题1．不等式<0的解集为(　　)A．∅B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)A．1B．2C．－1D．－23．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．题型一　一元二次不等式的解法命题点1　不含参数的不等式例1　(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)A.B.C．(－∞，0)∪D．(－∞，0)∪(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}C．a＋b＋c>0D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　含参数的一元二次不等式例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．________________________________________________________________________4 ________________________________________________________________________思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1　解关于x的不等式．(1)>1；(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上恒成立问题例3　(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)A．0B．－24C．－20D．－2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　在给定区间上恒成立问题例4　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题例5　(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．4 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2　(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|a<－2或a≥2}B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2}D．{a|a<2}(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　)A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≥4