2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5　一元二次方程、不等式考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根不等式的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－}R2．分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)13 教材改编题1．不等式<0的解集为(　　)A．∅B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案　B解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)A．1B．2C．－1D．－2答案　B解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　[1,3]解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.题型一　一元二次不等式的解法命题点1　不含参数的不等式例1　(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是(　　)A.B.C．(－∞，0)∪D．(－∞，0)∪答案　D解析　原不等式等价于即x<且x≠0，故选D.13 (2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　)A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}C．a＋b＋c>0D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪答案　ABD解析　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．命题点2　含参数的一元二次不等式例2　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值；(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．解　(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0.因为f(x)<0的解集是，所以a>0且－＝－，解得a＝3.(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为；当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅；当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.综上所述，13 当－<a<0时，原不等式的解集为；当a＝－时，原不等式的解集为∅；当a<－时，原不等式的解集为.思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1　解关于x的不等式．(1)>1；(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.解　(1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－.所以不等式的解集为.(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1，当0<m<2时，>1，解得1<x<；当m＝2时，＝1，原不等式无解；当m>2时，<1，解得<x<1.综上所述，当0<m<2时，原不等式的解集为；当m＝2时，原不等式的解集为空集；当m>2时，原不等式的解集为.题型二　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上恒成立问题例3　(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　)A．0B．－24C．－20D．－213 答案　ACD解析　当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则⇒－24<k<0，于是－24<k≤0，故选ACD.命题点2　在给定区间上恒成立问题例4　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．答案　解析　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是.方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，所以m<在x∈[1,3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.13 命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题例5　(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案　D解析　不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得解得x<－1或x>3.思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2　(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|a<－2或a≥2}B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2}D．{a|a<2}答案　C解析　因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，需满足解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}．(2)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　)A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≥答案　C13 解析　由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤max，由于＝x＋，而y＝x＋在[1,2]上单调递增，故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≤.课时精练1．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)A．x2＋x－2>0B．－x2＋x－2>0C．－x2＋x－2<0D．2x2－3x＋2>0答案　CD解析　对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为∅；对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．－1<a<2B．a≥1C．a<－1D．－1≤a<2答案　D解析　当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2.13 3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　)A.B.C．{x|－2<x<1}D．{x|x<－2或x>1}答案　A解析　因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1，则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为.4．(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　)A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<nD．α<m<β<n答案　C解析　∵α，β为方程y＝0的两个实数根，∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象与x轴交点的横坐标，令y1＝(x－m)(x－n)，∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标，易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2023个单位长度得到，∴m<α<β<n.5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)A．(1，a)B．(－∞，1)∪(a，＋∞)C．(－∞，a)∪(1，＋∞)D．∅答案　BCD解析　当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；当a＝0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>1或x<a；当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，13 解得x>a或x<1.6．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　)A．4B．5C．6D．7答案　AB解析　画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.7．不等式>x的解集是________．答案　(－∞，－1)∪(1,5)解析　不等式>x化为以下两个不等式组或解即解得x<－1，解即解得1<x<5，所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)．8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________．答案　－4解析　∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－恒成立，又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－≤－4，∴a≥－4，故a的最小值为－4.9．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；13 (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解　(1)选①：>1，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，解得－1<x<3，若x＋1<0，则<0，则>1无解，所以>1的解集为(－1,3)，故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．选②：x2－2x－3<0，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．选③：|x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，解得B＝(m，m＋1)，因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，所以或解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1,2]．10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1.解　(1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，此时必有即解得a≥，所以实数a的取值范围是.13 (2)依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔(x－1)>0，当a＝－1时，－＝1，解得x≠1；当－1<a<0时，－>1，解得x<1或x>－；当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1，所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为；当a<－1时，原不等式的解集为.11．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是(　　)A．－1B．0C．1D．3答案　CD解析　∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，①当x＝0时，a∈R；②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5⇔x－≤a≤x＋，当x∈(0,3]时，min＝2＋＝4，max＝3－2＝1，∴1≤a≤4，综上，1≤a≤4.12．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m<n)，有下列四个结论：甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.如果只有一个假命题，则假命题是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁答案　B解析　假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，符合题意；13 假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意．13．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}．参考上述解法，解答问题：若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2<x<－1或1<x<3}．则关于x的不等式＋<0的解集为(　　)A.∪B．(－1,1)∪(1,3)C．(－3，－1)∪(1,2)D.∪答案　A解析　因为x＝0不是不等式＋<0的解，所以不等式＋<0等价于＋<0，所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1<x<－或<x<1.14．已知0<θ<，若cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________．答案　m≥－解析　∵cos2θ＋2msinθ－2m－2<0，13 ∴1－sin2θ＋2msinθ－2m－2＝－sin2θ＋2msinθ－2m－1<0.设x＝sinθ(0<x<1)，f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立．当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，即－≤m≤0，当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0，解得1－<m<1＋，即0<m<1，当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.综上所述，m≥－.13